NOUVELLES RECHERCHES SUR L’ELIMINATION ET LA 
THÉORIE DES COURBES. 
[From the Journal fur die reine und angetvandte Mathematik (Crelle), tom. lxiii. (1864), 
pp. 34—39.] 
Dans le problème de lelimination, on cherche la relation qui doit exister entre 
les coefficients d’une fonction ou système de fonctions pour que quelque circonstance 
particulière (ou singularité) puisse avoir lieu ; par exemple, pour que deux équations 
puissent avoir une racine commune, ou (comme application géométrique) pour qu’une 
courbe puisse avoir un point double. En prenant les coefficients comme donnés, tant 
la relation cherchée que la singularité qu’elle implique n’ont qu’une existence hypothé 
tique. Mais on peut transformer la question en supposant que les coefficients d’une ou 
de plusieurs des fonctions soient de la forme a = Xa + pal', b = Xb' + pb",... où a', b',..., 
a", b”,... sont des coefficients donnés, mais X, p des quantités arbitraires. On peut 
alors disposer en sorte que la singularité dont il s’agit existe actuellement, en déter 
minant, au moyen de la relation donnée par l’élimination, la valeur du rapport X : p. 
Ces substitutions a = Xa' + pa", b = Xb' + pb",... changent la fonction U à laquelle se 
rapportent les coefficients a, b,... en U = XU'+pU", où U', U" sont des fonctions 
semblables à U, mais avec les coefficients a, b',... ou a", b",... au lieu de a, b,... : 
en se servant d’une expression usitée, on peut dire que la fonction U est en involution 
avec U', U" ; et de même en géométrie que la courbe U = 0 est en involution avec 
les courbes U' = 0, U" = 0 ; au reste, pour les courbes, cela veut dire que les trois 
courbes se coupent dans les mêmes points. 
On conçoit comment cette manière d’envisager le problème peut conduire à une 
interprétation géométrique de résultats qui n’avaient auparavant qu’une signification 
analytique. Considérons par exemple la proposition suivante, “ le discriminant d’une 
fonction quadratique à trois variables est du degré 3 par rapport aux coefficients,” ou 
ce qui est la même chose, “ la fonction qui égalée à zéro exprime que la conique