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NOUVELLES RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION &C. 
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TJ = 0 ait un point double (se réduise à une paire de droites) est du degré 3 par 
rapport aux coefficients,” c’est là une proposition purement analytique, mais si comme 
ci-dessus on met Xa' + /ici", Xb' + yb",... au lieu de a, b,... on a le théorème géomé 
trique que voici: “Dans le système de coniques XTJ'+iiU"=0 en involution avec les 
coniques données TJ' = 0, TJ" = 0, il y a 3 coniques à point double (c’est-à-dire, trois 
paires de droites).” En considérant le cas plus général d’une fonction à trois variables 
et d’ordre quelconque, la question analytique “ quel est le degré du discriminant de la 
fonction TJ” peut être remplacée par la question géométrique “dans le système des 
courbes XTJ' + yU" — 0 en involution avec les deux courbes données TJ' — O, TJ" = 0, quel 
est le nombre des courbes à point double ” ou, ce qui est la même chose, “ quel est 
le nombre des points dont chacun est le point double d’une courbe du système.” En 
considérant la question sous cette dernière forme, non seulement on retrouve la valeur 
connue 3 (n — l) 2 du degré du discriminant de la fonction U = (A,. y, z) n , mais 
on trouve aussi le théorème plus général : 
La fonction TJ = {A, ...]£#, y, z) n étant telle que la courbe TJ— 0 ait un nombre a 
de points doubles et un nombre fi de points de rebroussement, son discriminant spécial 
est du degré 3 (n — l) 2 — 7a — 11/3. 
Sous la désignation de “ discriminant spécial ” j’entends la fonction laquelle égalée 
à zéro donne la condition pour que la courbe TJ = 0 ait un point double de plus. Il 
convient de remarquer par rapport à cette expression que le discriminant de la fonction 
générale du ?i ième ordre, en y substituant, au lieu des valeurs générales, les coefficients 
de la fonction TJ dont il s’agit, ne donne nullement le discriminant spécial de TJ mais 
se réduit identiquement à zéro ; ce discriminant spécial est donc tout autre chose que 
le discriminant de la fonction générale. En parlant tout simplement de l’ordre du 
discriminant spécial, j’ai voulu désigner l’ordre auquel cette expression s’élève par rapport 
à des coefficients absolument arbitraires ou éléments a, b, ... lesquels sont censés entrer 
linéairement dans la fonction U. Il est donc nécessaire de démontrer d’abord la pro 
position auxiliaire que l’équation d’une courbe qui a déjà un nombre donné de points 
doubles et de rebroussement peut s’exprimer sous la forme signalée, c’est-à-dire 
linéairement par rapport à des coefficients absolument arbitraires ou éléments a, b,..., 
proposition qui peut être démontrée sans difficulté. 
Considérons en effet l’équation générale TJ = (A, y, z) n — 0 où les coefficients 
A,... sont tous arbitraires; dans le cas d’un point double supposons que les coordonnées 
de ce point, dans le cas d’un point de rebroussement supposons que les coordonnées 
de ce point et la direction de la tangente soient données : cela établit pour chaque 
point double trois conditions, et pour chaque point de rebroussement quatre conditions, 
qui contiennent d’une manière quelconque les paramètres appartenants au point double 
ou de rebroussement, mais qui sont linéaires par rapport aux coefficients A,... : ces 
coefficients peuvent donc s’exprimer linéairement au moyen d’un nombre convenable de 
coefficients absolument arbitraires ou éléments a, b, ... ; et c’est de ces éléments a, b,... 
qu’il s’agit et nullement des paramètres mentionnés ci-dessus qui entrent dans les 
expressions par lesquelles A,... sont donnés en termes de a, .... 
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