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ET LA THÉORIE DES COURBES. 
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Cela donne pour la courbe (1) 
d x V, d z V = 0 = z 2n ~ r ° {(ax + by). (a', b', c'^x, y) 2 — (ax + b'y). (a, b, c$x, y) 2 } + ete. 
d x W, d z W = z 2n ~ 5 y {(ax + by) (b'x + c'y) — (a'x + b'y) (bx + cy)} + etc. ; 
la courbe (1) a donc à l’origine un point triple, les tangentes étant données par les 
équations 
y = 0, (ax + by) (b'x + c'y) — (a x + b'y) (bx + cy) = 0, 
et de même la courbe (2) a à l’origine un point triple, les tangentes étant données 
par les équations 
x = 0, (ax + by) (b'x + c'y) — (a'x + b’y) (bx + cy) = 0 ; 
il y a donc au point triple deux branches de la courbe (1) dont chacune touche une 
de deux branches de la courbe (2); ce qui donne à l’origine 4 + 4 + 3 = 11 points 
d’intersection. De plus il est évident que les deux courbes d z V = 0, d z W = 0 ont chacune 
un point double à l’origine, c’est-à-dire elles s’y coupent en 2+2 = 4 points. 
Par conséquent les courbes (1) et (2) se coupent en 4(?i — l) 2 points, savoir 
11 points à l’origine, 4>(n— l) 2 — 11 points autrepart, 
les courbes d z V = 0, d z W = 0 se coupent en (n — l) 2 points, savoir 
4 points à l’origine, (n — l) 2 — 4 points autrepart, 
et le système des 3 (n — l) 2 points contient 
7 points à l’origine, S(n— l) 2 — 7 points autrepart. 
En écartant les points à l’origine on a donc 3 — l) 2 — 7 points ; pour une courbe à 
point double le degré du discriminant spécial est donc = 3 (n — l) 2 — 7. Si la courbe 
U= 0 a un point de rebroussement, les courbes V = 0, W = 0 auront au même point 
un point de rebroussement avec la même tangente, et en prenant ce point pour origine 
des coordonnées et la droite x = 0 pour l’équation de la tangente, les deux courbes 
seront 
V = z ll ~ 2 . a x 2 + z 1l ~ 3 .(a, /3, y , Sx, y) s + etc. = 0, 
W = z n ~ 2 . a’x 2 + z n ~ 3 . (cl', ¡3', y', B'~^x, y) 3 + etc. = 0. 
Cela donne pour la courbe (1) 
0 = 
d x V, d z V 
d'W, 3 2 1E 
= {;z n ~ 2 .2ax + z n ~ 3 . 3 (cl, ¡3, y$+, y) 2 + etc.} 
x {(w — 2) z n ~ 3 a!oc 2 + (n — 3) z n ~* (ai, /3', y', £'$+, y) 3 + etc.} 
— {z n ~ 2 .2a'x + z 1l ~ 3 .3 (a.', ¡3', y'$+, y) 2 + etc.} 
x {(îi — 2) z n ~ 3 ax 2 + (n — 3) z n ~ 4 (cl , ¡3 , y , B y) 3 + etc.}