2 NOTE RELATIVE AUX DROITES EN INVOLUTION DE M. SYLVESTER. [300 
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les six quantités 
proqueme 
&y — {3'y, yoi — y a, a/3' — a'/3, aiï — a’S, @8' — ¡3'8, y8' — y'8, 
nombre < 
ces tang( 
sont ce que je nomme les coordonnées de la droite (en représentant par a, b, c,f, g, h 
ces coordonnées, on a l’équation identique af + bg 4- ch = 0, et les coordonnées d’une 
droite peuvent être des quantités quelconques qui satisfont à cette équation). La con 
dition pour l’involution de six droites est celle-ci, savoir: le déterminant formé avec les 
coordonnées des six droites est égal à zéro. 
comme c< 
une droit 
en involu 
qui sont 
cubique ' 
Je reviens à la droite qui coupe deux fois la courbe cubique. En écrivant les 
équations sous la forme 
conique < 
droites p x 
p x x + q x y + r x z + 0u = 0, Ox +p x y 4- q x z 4- r x u = 0, 
cette mê: 
les coordonnées de cette droite seront 
autremen 
Pi> qx-pir X) -p x q x , p 1 r l , q x r X) r x 2 , 
savoir, ces coordonnées seront des fonctions linéaires de (p x 2 , q x 2 , r x 2 , q x r 1} r x p x . p x q x ). 
Donc, en considérant six droites dont chacune coupe deux fois la courbe cubique, et 
en attribuant des significations analogues à (p 2 > Ça> r s)> etc., la condition pour l’involu- 
tion des six droites se trouve en égalant à zéro le déterminant dont les lignes sont 
(p x 2 , g 2 , r i 2 > <P r i> r iPi> Pi<li)> (P- 2 > q 2 > etc.), etc.; condition qui exprime que les six droites 
sera celle 
Et cette 
la surface 
avec la c 
la droite 
PiX+ qxy+ r x z = 0, 
ment dan 
dans le plan u = 0 (ou si l’on veut les six droites p x y 4- q x z 4- r x u = 0 dans le plan x = 0) 
touchent une même conique. Or la droite 
J’ai : 
qu’il y a 
PxX + q x y + r x z = 0 
génératric 
l’ordre ^ ( 
est la projection de l’une des six droites sur le plan osculant u = 0, avec le point 
x — y = z — 0 de la courbe cubique comme centre de projection; et si, en prenant un 
plan osculant quelconque et un point quelconque de la courbe cubique pour plan et 
centre de projection, nous appelons tout simplement projection une telle projection d’une 
droite quelconque (le plan osculant et le point de la cubique étant toujours les mêmes), 
on est conduit au théorème que voici, savoir : 
et comme 
droites qi 
espèce dei 
des droite 
Six droites dont chacune coupe deux fois la même courbe cubique seront en involu- 
tion, si les projections de ces droites touchent une même conique. 
Et de même, pour un nombre quelconque de droites, si les projections touchent 
une même conique, ces droites seront en involution, c’est-à-dire six quelconques des 
droites seront des droites en involution. 
Il convient de remarquer qu’en considérant six droites quelconques, on peut en 
général trouver une courbe cubique coupée deux fois par chacune des droites: la con 
dition du théorème est donc, comme cela doit être, une seule relation entre les six 
droites. Je remarque aussi que cette relation ne dépend nullement du plan osculant 
ni du point de la courbe cubique choisis pour plan et centre de projection. Réci-