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CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 
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les équations de trois plans quelconques qui passent par ce point ; l’équation de la 
surface sera satisfaite en y écrivant 
droites d’ 
les six d: 
55 
II 
© 
II 
© 
II 
© 
tiquement 
donc cette équation ne contiendra pas de terme en w 2 , et elle sera ainsi de la forme 
P', Q' éta 
P 
wQ — P = 0 ou w — jt , 
Y 
respectivei 
P et Q étant des fonctions homogènes en x, y, z, du second ordre et du premier 
ordre respectivement ; c’est-à-dire, la surface sera monoïde, ou, si l’on veut, monoïde 
quadrique. 
P 
on a y, ~ 
courbe ser 
Or, par une courbe du quatrième ordre (ou courbe quartique) quelconque en espace, 
on peut faire passer une surface du second ordre, ou monoïde quadrique. Selon la 
théorie générale, la surface monoïde est tout au plus du troisième ordre, ou monoïde 
cubique ; j’avais tort de supposer que pour la courbe excubo-quartique la surface 
monoïde fût nécessairement une monoïde cubique. Il arrive comme suit, savoir : pour 
la courbe quadriquadrique, en prenant pour sommet un point quelconque de l’espace 
(on suppose toujours que le sommet de la monoïde n’est pas situé sur la courbe), on 
aura une monoïde quadrique ; mais pour la courbe excubo-quartique, pour que la monoïde 
soit quadrique, il faut que le sommet soit situé sur la surface du second ordre (il n’y 
a qu’une seule surface) qui passe par la courbe ; cela étant, la monoïde quadrique sera 
cette surface même du second ordre. Mais en prenant pour sommet un point quel 
conque qui n’est point situé sur la surface du second ordre, la monoïde sera néces 
sairement une surface cubique. 
Reste 
ayant le i 
été exami 
surface of 
a, en effe 
comptent 
quinze dre 
passe par 
peut nomr 
les droites 
12, 13, 14 
pour les a 
Ainsi, pour les courbes quartiques, il suffit de considérer ces courbes comme situées 
sur une monoïde quadrique; il est cependant assez intéressant de les considérer comme 
P 
situées sur une monoïde cubique. Je suppose donc U=0, w=q, où U—0 est un 
p 
cône quartique et w=-~ une mon °ïde cubique avec le même point # = 0, y= 0, z — 0 
pour sommet. 
Cela 
que les di 
située sur 
. ne se cou] 
de la moi 
est une c 
sommet ur 
Selon la théorie générale, les huit droites Q = 0, U = 0 doivent être comprises 
parmi les six droites Q = 0, P = 0. Or, pour cela, il faut que le cône U — 0 ait des 
droites multiples; il y a trois cas à considérer: 1° Le cône passe par les six droites, 
et une de ces droites est une droite triple du cône ; il y aura, comme cela doit être, 
monoïde qi 
Donc, 
quatrième 
3+l+l+l+l+l=8 
J’étab 
droites d’intersection de Q = 0, U = 0. 2° Le cône passe par les six droites ; deux de 
ces droites étant des droites doubles, il y aura 
droites 12 
2+2+1+1+1+1=8 
forme w + 
droites d’intersection. 3° Le cône passe par cinq des six droites ; trois de ces cinq 
droites étant des droites doubles, il y aura 
2+2+2+l+l=8 
ou en chai