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CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 
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droites d’intersection. Or, dans le premier et le second cas, le cône U— 0 passe par 
les six droites d’intersection des cônes P — 0, Q = 0 ; il faut donc que l’on ait iden 
tiquement 
U—PQ' — P'Q, 
P', Q' étant des fonctions homogènes en x, y, z du second ordre et du premier ordre 
respectivement. Mais en vertu de l’équation 
U=PQ'-P'Q = 0, 
PP’ . .P' 
on a VS = j c’est-à-dire la courbe est située sur la monoïde quadrique w = -¡y. La 
courbe sera quadriquadrique ou excubo-quartique, selon les circonstances. 
Reste à considérer le troisième cas. La monoïde cubique est une surface cubique 
ayant le sommet pour point conique; la théorie des droites sur une telle surface a 
été examinée par M. Salmon dans son Mémoire : “ On the triple tangent planes of a 
surface of the third order,” Camb. and Dubl. Math. Journ., pp. 252—260 (1849). Il y 
a, en effet, les six droites par le point conique, savoir : les droites P = 0, Q = 0, qui 
comptent pour douze droites, et de plus quinze droites; 6x2+15 = 27. Chacune des 
quinze droites est donnée comme troisième intersection de la surface avec un plan qui 
passe par deux des six droites. Donc, en nommant 1, 2, 3, 4, 5, 6 les six droites, on 
peut nommer 12 la droite dans le plan mené par les droites 1, 2 ; et de même pour 
les droites 13, 28, etc. La droite 1 est rencontrée par les droites 2, 3, 4, 5, 6, 
12, 13, 14, 15, 16; la droite 12 par les droites 1, 2; 34, 56; 35, 64; 36, 45; et ainsi 
pour les autres droites. 
Cela étant, je suppose que le cône U = 0 passe par les droites 2, 3, 4, 5, 6, et 
que les droites 4, 5, 6 soient droites doubles du cône. Je dis que la courbe sera 
située sur une surface du second ordre qui passe par les droites 12, 13 (droites qui 
ne se coupent pas), savoir, ces deux droites et la courbe seront l’intersection complète 
de la monoïde cubique et de la surface du second ordre ; cela fait voir que la courbe 
est une courbe excubo-cubique. Et, comme il est auparavant dit, en prenant pour 
sommet un point quelconque de la surface du second ordre, la courbe sera située sur une 
monoïde quadrique w = . 
y 
Donc, en partant de la monoïde cubique, on trouve toujours que la courbe du 
quatrième ordre est située sur une monoïde quadrique. 
J’établis comme suit l’existence de la surface du second ordre qui passe par les 
P 
droites 12, 13. Je remarque en général que l’équation w — ^ peut s’écrire sous la 
PL ^ 
forme w + L — - , où L est une fonction homogène linéaire quelconque de x, y, z ; 
Y 
ou en changeant w, cette équation sera 
iv = 
P + LQ 
Q