SUITE DES RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION &C. 
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laquelle dépend des points de rebroussement, qui semble jouer un rôle analogue en 
quelque sorte à celui du discriminant. Car soient pour un moment (x, y, z) les 
coordonnées d’un des points de rebroussement de la courbe £7=0; écrivons D — æd x + yd y +zd z , 
et dans la fonction U substituons (x, y, z) au lieu de (x, y, z); l’équation D 2 U = Q 
donne le carré de la tangente au point de rebroussement : or D 2 U = aD 2 P + bD-Q + cD 2 R + ..., 
et puisque les courbes P = 0, Q = 0, R = 0, ... ont chacune la même tangente au point 
de rebroussement, les fonctions D 2 P, D 2 Q, D 2 P, ... seront des fonctions de la forme 
À,«!* 2 , yA» 2 , v® 2 , ... où <3>=0 est l’équation de la tangente, et A, v... sont des quantités 
constantes qui ne dépendent que des constantes que contiennent les fonctions P, Q, R,... . 
Nous aurons donc P 2 U=(a\+b/x+cv+.. ,)A> 2 ] et je remarque que l’équation aA+bfji+cv+... = 0 
serait la condition pour qu’il y eût au lieu du point de rebroussement un point triple. 
On obtient donc l’équation du système des carrés des tangentes aux points de 
rebroussement sous la forme 
(aX,! + bfa + cv x ...) (a\ 2 + by 2 + cv 2 ...)...(aAp + byp + cv^ + ...) <IV<E> 2 2 ••• < f ) ^ 2 = 0 : 
le facteur constant (a\ x +bfi 1 +cv x ...) ... (ci\p + byp + cvp...), du degré /3 par rapport aux 
coefficients, est précisément la dérivée que je nomme AU (de manière que AU = 0 est 
la condition pour l’existence d’un point triple) : l’autre facteur $ x 2 d> 2 2 • • • est du 
degré 0 par rapport aux coefficients. 
Cela étant, je pose d’abord, pour la vérifier plus tard, la table suivante: 
équation de la courbe, U = 0 
condition pour un nouveau point 
double, KU=0 
condition pour un point triple, 
AU= 0 
équation de la courbe réciproque, 
FU=0 
équation de la courbe des in 
flexions, HU = 0 
équation des tangentes aux points 
d’inflexion, QU = 0 
équation de la courbe des contacts 
des tangentes doubles n U= 0 
équation des tangentes doubles, 
Degrés par rapport 
j aux coefficients 
1 
aux variables 
2 
0 
0 
n (n — 1) — 2a — 3/3 
3 (n - 2) 
3n (n — 2) - 6a — 8/3 
(n — 2) (n 2 — 9) 
3( № -l) 2 —7a—11/3 
/3 
2 (n- 1) 
3 
3n (n — 2) — 3a — 4/3 
(n + 4) (n — 3) 
PU = 0 
( \n (n—2) (n 2 — 9 )-(n 2 -n— 6) (2a+ 3/3) 
\ + 2a (a-l)+6a/3+fy8(y8- 1) 
j2n Qi — 2) (n - 3) 
l - (2n - 6) (2a + 3/8) - /3 
équation de la courbe récipro 
que de la réciproque de la 
courbe, FFU- 0 (n 2 —n - 2a — 3/3) (w 2 -n — 1 - 2a—3/3) 
2 (w 2 — w - 1 — 2a - 3/3) 2 (w — 1 ). 
C. V. 
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