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354. 
NOTE SUR LES SINGULAEITÉS SUPÉEIEUEES DES COUEBES 
PLANES. 
[From the Journal für die reine und angewandte Matliematik (Crelle), tom. lxiv. (1865), 
pp. 369—371.] 
Dans un mémoire “ On the higher singularities of plane Curves ” destiné pour le 
Quarterly Mathematical Journal j’ai cherché à établir qu’une singularité quelconque 
équivaut à un certain nombre 8' de points doubles, k de points de rebroussement, 
t de tangentes doubles, et l d’inflexions ; et pour déterminer ces nombres, j’ai donné 
dans le cas d’une singularité simple, où la courbe n’a qu’une seule branche, des 
formules que je vais reproduire ici. Si la branche est par rapport à ses points de 
l’indice a, ayant avec elle-même le nombre de points communs, et par rapport à 
ses tangentes de l’indice ¡3, ayant avec elle-même le nombre \N de tangentes com 
munes, on trouve 
8' = £ [M— 3 (a — 1)], 
k! = a — 1 , 
—3(/3 —1)], 
I = /3 - 1 . 
Pour expliquer ces formules, je remarque que la singularité dont il s’agit est telle que, 
prenant pour origine le point sur la courbe, on obtient pour l’ordonnée y une seule 
suite de la forme 
y = AocP + Bx q + ... , 
où la suite est arrangée suivant les puissances ascendantes de x et les coefficients 
A, B,... ont chacun une valeur unique. Si l’axe des y ne touche pas la courbe, aucun 
des exposants p, q,... ne sera inférieur à l’unité, et si de plus l’axe des x touche la