430 SUR UN THÉORÈME RELATTF À HUIT POINTS SITUÉS SUR UNE CONIQUE. [355 
théorème 5, il y a 45 + 720 + 900 systèmes. Pour n — 7 il y a 105 + 2520+6300+ 2520 
systèmes et pour n — 8, 210 + 6720 + 25200 + 20160 + 2520 systèmes. 
Le cas n = 5 est surtout intéressant : en effet comme une conique est déterminée 
par 5 points, on a ici 5 points quelconques (a, b, c, d, e), et les cinq tangentes (les 
droites A, B, G, D, E de Steiner) sont des droites déterminées par les cinq points et 
que l’on peut construire (avec la règle seulement). C’est là en effet la forme sous 
laquelle le théorème est présenté par Steiner ; il ne parle nullement de la conique 
qui passe par les 5 points—et il donne pour les 5 droites une construction ; à savoir, 
les 15 points r sont situés deux à deux sur 15 droites L qui ne dépendent chacune 
que de 4 points, et sur 60 droites H qui dépendent chacune des 5 points; les 
60 droites H combinées deux à deux d’une manière convenable se rencontrent dans 
30 points s (c’est la définition de ces points) et puis (théorème) on a 5 droites 
A, B, C, D, E qui contiennent chacune 6 points s et qui passent par les points 
a, b, c, d, e respectivement—et (théorème) les 30 points s sont aussi situés sur les 
10 droites G, 3 points sur chaque droite. Je remarque qu’en prenant sur la conique 
qui passe par a, b, c, d, e, un point quelconque g, il y aurait 24 hexagones inscrits 
ayant ag pour côté—et de là 24 droites Pascaliennes—et par le point d’intersection 
de ag avec l’une quelconque des 6 droites bc, etc. on a 4 de ces droites Pascaliennes. 
Cela posé, en prenant pour g le point consécutif a, les 24 hexagones se confondent 
deux à deux—on a donc 12 hexagones inscrits et autant de droites Pascaliennes— 
ces droites sont les 12 droites H lesquelles se rencontrent deux à deux dans les 
6 points s situés sur la droite aa', ou A. Steiner dit que les 120 coniques dépendent 
des 5 points, mais que les 15 coniques dépendent chacune de 4 points seulement; en 
donnant (comme il l’a fait) le théorème comme un théorème par rapport à cinq 
points quelconques, cela n’est pas exact—en effet les coniques dont il s’agit dépendent 
chacune de 4 des cinq points, et des 4 droites correspondantes, tangentes dans ces 
mêmes points à la conique qui passe par les cinq points—ces coniques dépendent 
ainsi des cinq points. 
Je remarque en passant que partant des cinq points donnés a, b, c, d, e, il y a 
sur chacune des droites A, B, G, D, E un point remarquable, dont Steiner ne parle 
pas, mais qui aurait pu servir à une construction de cette droite—par exemple il y 
a sur la droite A le point a qui est l’intersection commune des polaires de a par 
rapport à toutes les coniques qui passent par les points b, c, d, e—en particulier ce 
point a est l’intersection commune des polaires (harmonicales) de a par rapport aux 
trois paires de droites (bc, de), (bd, ec), (be, cd) respectivement. 
Cambridge, 16 Fév. 1865.