432 SUR UN CAS PARTICULIER DE LA SURFACE DU QUATRIÈME ORDRE [356 
Pour donner les équations des seize plans singuliers de cette surface je pose d’abord 
pour abréger 
ad = a, be = ¡3, cf= 7, 
et je détermine k au moyen de l’équation cubique 
7^ + (-9 - h a + ££ + h) № + (- g - fa - i/3+ £y) k - a = 0 ; 
puis j’introduis les quantités 
b 
Je + 1 
p' = 
b 
d 
+a > + k+i r 
+ k 
a 
e 
9.' = 
— cp 
+ k T ~ 
A; + 1 
a 
“ïî 
+fs, 
s = 
d e 
~k p+ T+li 
-fr 
enfin je dénote par p x , q x , r ly s x ; p 2 , q. 2 , r 2 , s 2 ; p 3 , q 3 , r 3 , s 3 ce que deviennent les quantités 
p', q', r', s' en y substituant successivement pour k les trois racines k\, k. 2 , k 3 de 
l’équation en k. Cela posé, les seize plans singuliers sont donnés par les équations 
p = 0, q = 0, r = 0, s = 0, 
Pi = 0, q x = 0, n = 0, s x = 0, 
p, = 0, q. 2 = 0, r. 2 = 0, s 2 = 0, 
Po = 0, q 3 = 0, r 3 = 0, s 3 = 0. 
En prenant une ligne quelconque (p x , q x , r x , s x ) et une colonne quelconque (r, r x , r 2 , r 3 ), 
puis en omettant le terme commun r X) on a une des seize combinaisons (p x , q x , s x , r, r 2 , r 3 ) 
de six plans qui se rencontrent dans un des seize points singuliers. 
Supposons que les plans p, s x , r 2 , q 3 se rencontrent dans le même point. Pour 
que cette circonstance ait lieu il faut que la condition 
k 2 ( k 3 + 1) = 
k 3 (k x +1) 
ou, ce qui est 
la même chose, k 3 (k x — k 2 ) — (k 2 — k 3 ) = 0 soit remplie ; mais si cette condition est 
remplie, non seulement les plans (p, s 1} r 2 , q 3 ) se rencontrent dans le même point, mais 
aussi les plans (q, p x , s 2 , r 3 ), les plans (r, q x , p 2 , s 3 ) et les plans (s, r x , q. 2 , p 3 ) se ren 
contrent dans le même point. L’équation k 3 (k x — k 2 ) — (k. 2 — k 3 ) = 0 appartient évidemment 
à un système de six équations, et l’une quelconque de ces équations donnerait un résultat 
semblable ; chacune de ces équations conduit, comme on va voir, à une certaine relation 
entre les quantités g, a, ¡3, 7 (ou g, a, b, c, d, e, f ), relation en vertu de laquelle la 
surface générale du quatrième ordre douée de seize points singuliers se réduit au tétraé- 
droïde. Pour former la relation dont il s’agit, il faut égaler à zéro le produit des six 
fonctions analogues à k 3 (k x — k 2 ) — (k 2 — k 3 ). Je forme d’abord le produit des trois 
fonctions k 3 (k x — k 2 ) — (k 2 — k 3 ), k x (k 2 — k 3 ) — (k 3 — k x ), k 2 (k 3 — k x ) — (k x — k 2 ), et en représentant