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A SUPPLEMENTARY MEMOIR ON THE THEORY OF MATRICES.
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viz. we have §„ = {a, b, c, (T§d, c, —b, — a), s 12 = (a, b, c, d#h, g, —f — e), &c.: we see
at once that s n = 0, § i2 + s 21 = 0, &c., viz. the determinant in § is a skew determinant, that
is, the square of a Pfaffian. We have therefore
V " = (s i2 §34 + §13 §42 + §14 §23)“?
or extracting the square root of each side, and determining the sign by a comparison
of any single term, we have
V = §12 §34 + §13 §42 4" §14 §23,
which is one of the required forms of V.
17. And in the same manner
V 2 = tr.
a,
b,
C,
d
.
TO,
n,
0,
p
f,
g>
h
i ,
j >
h
l
i ,
j>
fc,
l
- e ,
-f>
-ff>
- h
in,
n,
0,
p
- ci,
-b,
— C,
-d
which is equal to the determinant
(m, i, - e, - a), (n,j, -/, - b), (0, k,-g,~ c), (p, l, - h, - d)
¿11? ¿12; ¿13; ¿14
= (a, e, i, to)
¿21; ¿22; ¿23; ¿24
(b,f,j, n)
¿31; ¿32; ¿33; ¿34
(c, g, k, o)
¿41; ¿42; ¿43; ¿44
(d, h, l, p)
viz. in = (<L e, h m\m y i, — e, - a), &c.; this is likewise a skew determinant, and we
have
V“= (£12 ¿34 + ¿13 ¿42 + ¿14 ¿23)%
or extracting the square root of each side, and determining the sign by the comparison
of any single term, we have
V — ¿12 ¿34 4* ¿13 ¿42 4" ¿14 ¿23)
which is the other of the required forms of V.
18. Consider now the matrix
(
a,
b,
c,
d )
e ,
f>
g>
h
i ,
j>
k,
l
TO,
n,
O,
P