[357
b, a)
357] A SUPPLEMENTARY MEMOIR ON THE THEORY OF MATRICES. 447
which is in fact
1,
0,
0,
0
)=(
¿14?
¿24? ¿34?
¿44
0,
1,
0,
0
¿13?
¿23? ¿33?
¿43
0,
0,
1,
0
¿12?
¿22? ¿32?
¿42
0,
0,
0,
1
¿11?
¿21? ¿31?
~ ¿41
and we obtain for the equality of the two matrices the six conditions
1 = ¿14 = ¿23? 0 = i]3 = ¿12 = ¿24 == ¿34?
equivalent to the former set of six conditions.
20. We obtain from either set of conditions, for the determinant the value
a,
b,
c,
d
e ,
f>
g>
h
i ,
j>
h,
l
m,
n,
0,
P
21. Write
{x, y, z, w) = ( a, b, c, d ][X, Y, Z, If); (ad, y, z', — b, c, d Y', Z', W'),
e , f, g, h
e ? /, g, h
i , j, h, l
i , j, k, l
m, n, o, p
m, n, o, p
then substituting for (x, y, z, w) (ad, y, z', id) their values, we find
xvd + yz' — zy' — wed = — ( t n , ij2, ¿i 3 , ¿14 ][X, F, Z, W'fyX', Y’, Z', W'),
¿21 ) ¿22? ¿23? ¿24
¿31? ¿32? ¿33? ¿34
¿41 ? ¿42 ? ¿43 ? ¿44
= ( . . • - 1 lx, Y,Z, W§X', F, Z', W%
. . -1
. 1
1 .
= XW'+YZ'-ZY'-WX'-
and similarly writing
(X,Y,Z,W) = (
P>
l, -h,
- d ][x, y, z, w)\ (X’, Y', Z', W') =
P?
l, -h, -d \x', y\ z', w'\
i
o ,
k, -g,
— c
o ,
k, -g, -c
-n,
-h /»
b
— n,
-j? /? b
— m,
-i e,
a
— m,
— i, e, a