lCE.
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE.
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mpent selon les
: il suit de la
1 existe un cône
ar chacune des
double, 18 con-
tout 18 + 3 = 21
moyen du cône
ivoir les droites
droites 7, 8, 9
3 situées sur le
ation
ois par chacune
9. Soit M = 0
9', les droites
;nt chacune des
Donc; le cône
deux fois ; ces
ainsi nous avons
homogènes de
et je forme les équations les plus générales pour le cône cubique et le cône quartique
qui passent par ces droites ; ces équations seront
Q = yzi;8 + zxr}8' + xyÇ8" + xyz% = 0,
— P = yz%X + zxrjY + xyÇZ + xyz% = 0.
p
On a de là la surface monoïde w— . En écrivant dans cette équation x=0, on obtient
Y X
= — Y, ; et de même, pour y = 0, on obtient w = — , et pour z = 0 on obtient
o o
w
Z
w =
= — c’est-à-dire qu’il y a sur la monoïde les trois transversales
(x = 0, X + 8W = 0), (y = 0, F+S'TE = 0), 0 = 0, Z + 8"W=0),
ou, comme on peut écrire ces équations,
(x = 0, fiy+yz + 8w = 0),
{y = 0, a' x + y z + 8' w = 0),
O = 0, a"x + fi" y + + 8"w = 0).
On trouve sans peine l’équation de la surface quadrique qui passe par les
transversales ; en écrivant, pour abréger,
A = 88'8",
B = (8'cl" + 8"a') 8x + (8"a + 8a") 8'y + 8" (8a' + 8'a) 8"z,
C = aa"8x 2 + fi"/38’ y- + yy'8" z 2 + (yfi"8' + y/38") yz + (a'y8" + a"y 8) zx + (fi"a'8 + fia"8') xy,
cette équation est
Aw- + Bw + 0 — 0,
et en éliminant w entre cette équation et l’équation w =
P
Q’
on obtient l’équation
AP*+BPQ + CQ 2 = 0,
lac|uelle, en vertu de l’identité
AP- + BPQ + CQ- = xyz U,
se réduit à U = 0, équation d’un cône du cinquième ordre, ce qui donne le système
p
U= 0, de cône et monoïde à signature 222222111000. Pour démontrer l’identité
dont il s’agit, il convient de remarquer qu’en substituant dans l’expression AP 2 +BPQ+ CQ-
les valeurs de P et Q, tous les termes contiennent explicitement le facteur xyz hormis
les termes que voici :
A (y-z-^-X- + z-x-t)- Y- + x % y-Ç : Z- ),
— B (y-z~/j-X8 + PxrrfYB' + x 2 y l ìpZ8"),
+ O (ifz-^- 8~ + z-x-y- S’ 2 + x 2 y-Ç- 8"- ),
