377] NOTE SUR LA CORRESPONDANCE DE DEUX POINTS SUR UNE COURBE. 543 
Cela donne lieu au théorème : “ Lorsque, sur une courbe, avec le défaut P, il y 
a deux séries de points qui ont une correspondance (a, a), le nombre des points unis 
est a + a + 2kD” où 2k est un facteur qu’il s’agit de déterminer. Cela peut se faire, 
sinon toujours, au moins dans la plupart des cas, au moyen du théorème que voici, 
tiré d’une induction qui me paraît suffisante : 
En considérant sur la courbe U = 0 un point donné P', et puis les intersections 
de la courbe U — 0 par une courbe © = 0 dont l’équation contient d’une manière 
quelconque les coordonnées (x', y', z') du point donné P' ; s’il y a k intersections qui 
coïncident avec le point P', et que les autres intersections forment un système de 
points P qui correspondent au point donné P', et si cette correspondance est une 
correspondance (a, a'), alors le nombre des points unis est ct + a.' + 2kB. 
Je donne quatre exemples de ce théorème : 
1°. Recherche de la classe.—Si les points correspondants P, P' sont situés en 
ligne droite avec un point donné 0, alors les points unis sont les points de contact 
des tangentes menées par le point 0 ; donc le nombre des points unis est égal à la 
classe de la courbe. La courbe © = 0 est ici la droite OP', il y a donc une seule 
intersection P'; donc k— 1, et nous avons entre les points P, P' une correspondance 
(m — 1, m — 1). Donc nous avons pour la classe M de la courbe l’expression 
M — 2 (m — 1) + 2 D, 
où, en substituant pour D la valeur 
B (m — 1 ) (m — 2) — 8, 
nous trouvons 
M = m 2 — m — 28, 
comme cela doit être. 
2°. Recherche du nombre des inflexions.—Si les points P sont les points de 
rencontre avec la courbe de la tangente au point P', alors les points unis seront les 
points d’inflexion. La courbe © = 0 est ici la tangente au point P' ; il y a ainsi 
deux intersections au point P ; donc Ic = 2; de plus, à chaque point P' correspondent 
(m — 2) points P, et à chaque point P correspondent M —2 points P'. On a donc 
pour le nombre des inflexions 
i =(m + M — 4) + 4P, 
ou, en substituant pour M, D, leurs valeurs, 
i = 3m (m — 2) — 63, 
ce qui est juste. 
Avant d’aller plus loin, il convient de généraliser le théorème, en remarquant que 
les intersections des courbes U = 0, © = 0 peuvent former plusieurs systèmes simples 
ou multiples de points: les intersections peuvent être le point P' (k fois), un système 
de points P (p fois), un système de points Q (q fois), etc. Cela étant, s’il y a entre