Consequently 
64w' (y'z' + z'x + x'y') = (w + x + y + z) 
x {3w 2 — 2iv (x +y + z) — x 2 — y 2 — z 2 + 2yz + 2zx + 2xy), 
64<x'y'z' = (w + x — y — z) (w — x + y — z) (w — x — y — z), 
= w 3 
— iv 2 (x + y + z) 
— w (x? + y- + z 2 — 2yz — 2zx — 2xy) 
+ x 3 + y 3 + z 3 — yz 2 — y 2 .z — zx? — z-x — xy 2 — ary + 2 xyz. 
Putting for shortness 
p = x + y + z, V = x 2 + y 2 + z 2 — 2yz — 2zx — 2 xy, 
the two expressions are 
Sw 3 
+ w 2 . +p 
+ w. — 2p 2 — V 
—p V + x? + y :< + z 3 — y 2 z — yz 2 — z 2 x — zx 2 — x 2 y — xy 2 + 2 xyz 
or observing that -_pV is 
= — x? — y 3 — z 3 + y 2 z + yz 2 + z 2 x + zx 2 + # 2 y + ay/ 2 + 6icyz, 
w 3 
+ w 2 .—p 
— w.V 
we have 
64 iyo'yz + w'z'x + w'xy + x'y'z') 
= 4 w 3 — 2w(p 2 +V) + 8xyz, 
= 4 iv 3 
— 4>iv (x 2 + y 2 + z 2 ) 
+ 8ay/2, 
that is