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NOTE SUR L’ALGORITHME DES TANGENTES DOUBLES D’UNE
COURBE DU QUATRIÈME ORDRE.
[From the Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle), tom. lxviii. (1868),
pp. 176—179.]
On n’a pas, je crois, assez fait attention à l’algorithme (tiré de la considération
d’une figure dans l’espace) qu’a trouvé M. Hesse (dans le mémoire “ Ueber die Doppel-
tangenten der Curven vierter Ordnung,” t. xlix de ce Journal, 1855) pour dénoter
les tangentes doubles (ou bitangentes) d’une courbe du quatrième ordre. Voici en quoi
cet algorithme consiste. En employant les huit symboles 1, 2, 3,... 8, les 28 bitangentes
sont représentées par les combinaisons binaires 12, 13, 14, ... 78. Cela posé, considérons
une expression quelconque 12.13.14, ou 12.34,... ou disons un “terme” qui repré
sente un système d’une seule ou de plusieurs des bitangentes. On peut opérer sur ce
terme avec deux espèces de substitutions ; la substitution ordinaire qui consiste à
changer l’arrangement 12345678 des huit symboles en un autre arrangement quelconque;
et la substitution “bifide” représentée par un symbole tel que 1234.5678, lequel dénote
qu’il faut entrechanger les combinaisons 12 et 34, 13 et 24, 14 et 23, 56 et 78,
57 et 68, 58 et 67, en ne changeant pas les autres combinaisons. Par exemple en
opérant avec 1234.5678 sur 34.45.56.17 on obtient 12.45.78.17. Le nombre de
ces substitutions bifides est 35, ou en comptant la substitution, unité, qui ne change
aucune des combinaisons, ce nombre est 36.
Appelons “ homotypiques ” deux termes qui se dérivent 1 un de 1 autre par une sub
stitution ordinaire ; “ syntypiques ” qui se dérivent l’un de 1 autre par une substitution
ordinaire ou bifide ; “ sous-groupe ” le système entier des termes homotypiques à un
terme donné : “ groupe ” le système entier des termes syntypiques a un terme donné.
Un groupe peut contenir un seul sous-groupe, ou plusieurs sous-groupes ; mais il importe
de remarquer que la notion du sous-groupe n a pas de signification géométrique, et ne
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