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516.
SUR UNE SURFACE QUARTIQUE APLATIE.
[From the Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, tom. lxxiv. (Janvier—
Juin, 1872), pp. 1393—1395.]
Il y a évidemment pour les surfaces une théorie analogue à celle des courbes
aplaties: la pénultième d’une surface P a Q< i ...= 0 est, pour ainsi dire, composée des
surfaces P = 0, Q = 0, &c., plus des lignes courbes ou arêtes, lesquelles correspondent
aux sommets d’une courbe aplatie( 1 ) ; par exemple une surface quadrique peut se
réduire à P 2 = 0, un plan deux fois, plus une conique qui est l’arête de la surface
aplatie. Pour les surfaces quartiques, un exemple assez intéressant se rencontre dans
le beau Mémoire de M. Casey, “ On cyclides and spheroquartics,” (Phil. Trans., vol. clxi.
pp. 585—721, 1871). L’auteur, d’après M. Darboux, nomme cyclide la surface quartique
generale qui a pour ligne double le cercle à l’infini (surface quartique anallagmatique
de M. Moutard), et spheroquartic la courbe d’intersection d’une sphère par une surface
quadrique quelconque ; et il est conduit à considérer la sphéroquartique comme cas
particulier de la cyclide. J’aime mieux dire qu’il y a une cyclide aplatie ayant pour
arête une courbe sphéroquartique.
Voici comment on y arrive : la cyclide est l’enveloppe des sphères dont chacune
a son centre sur une surface quadrique nommée focale, et coupe orthogonalement une
sphère fixe, nommée sphère d’inversion, disons la sphère S. Cela étant, en envisageant
la focale comme une surface réglée, chaque droite sur la surface donne lieu à une
infinité de sphères, qui passent toutes par un même cercle. En supposant que la
droite coupe la sphère S aux points 0, 0', ce cercle est ce que j’appelle Yanticircle
des points 0, 0', savoir, le plan du cercle est perpendiculaire à la corde 00' au
point central M, et le rayon en est égal à i OM (= i O'M), de manière que le cercle
est réel ou imaginaire, selon que les points 0, 0' sont imaginaires ou réels : toute
1 Voir Comptes Rendus, t. lxxiv. p. 708, [515].
