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518. 
SUE LA CONDITION POUE QU’UNE FAMILLE DE SUEFACES 
DONNEES PUISSE FAIEE PAETIE D’UN SYSTÈME OETHOGONAL. 
[From the Comptes Rendus de VAcadémie des Sciences de Paris, tom. lxxv. (Juillet— 
Décembre, 1872), pp. 177—185, 246—250, 324—830, 381—385, 1800—1803.] 
[Pp. 177—185.] 
1. Soit p = f{x, y, z) l’équation d’une famille de surfaces qui fait partie d’un 
système orthogonal. On sait que p satisfait à une équation à différences partielles du 
troisième ordre, et en suivant la route tracée par M. Levy, dans son excellent “Mémoire 
sur les coordonnées curvilignes orthogonales” (Journal de l’Ecole Polytechnique, t. xxvl, 
pp. 157—200, 1870), je suis parvenu à trouver cette équation. 
2. Je remarque que le théorème fondamental de M. Levy est, en effet, assez 
évident. Considérons une surface de la famille p : soit P un point quelconque de cette 
surface, et PT, PT lt PT 2 la normale et les tangentes aux deux courbes de courbure par 
le point P. Passons, suivant la normale au point P' de la surface consécutive p + dp, et 
soient P'T', P'Té, P'Té la normale et les tangentes aux deux courbes de courbure par 
le point P'. Or, si les surfaces p forment partie d’un système orthogonal, évidemment 
PP' sera élément d’une courbe de courbure d’une surface p 1 et aussi d’une surface p 2 
des deux autres familles du système orthogonal, et PT t , P'Té seront les normales à 
deux points consécutifs de cette courbe de courbure de la surface p x : et de même 
PT 2 et P'T 2 ' seront les normales à deux points consécutifs de cette courbe de courbure 
de la surface p 2 . Donc PT X et P'Té se rencontrent ; et de même PP 2 et P'Té se 
rencontrent. En se souvenant que PT 1} PT 2 sont perpendiculaires l’une à l’autre, et 
de même P'Té, P'Té, on voit sans peine que les deux conditions se réduisent à une 
seule. Réciproquement, si PT 1} P'Té se rencontrent (ou, ce qui est la même chose, 
PT 2 et P'Té), la famille p fera partie d’un système orthogonal ; ce qui est le théorème 
de M. Levy.