272 SUR LA CONDITION POUR QU’UNE FAMILLE DE SURFACES DONNÉES [518 
6. Dans la démonstration précédente, je me suis servi du théorème de Dupin; 
mais il convient de remarquer qu’en partant du système orthogonal, et dénotant par 
X, Y, Z\ X x , Y x , Z x \ X 2 , Y 2 , Z. 2 les dérivées de p, p x , p 2 , respectivement, il serait 
possible de déduire cette même équation des seules équations 
XX 1 +YY 1 + ZZ 1 = 0, 
XX 2 +YY 2 + ZZ 2 = 0, 
X x X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2 = 0. 
En effet, l’équation fut démontrée de cette manière par R. L. Ellis, dans une 
démonstration du théorème de Dupin, publiée dans l’ouvrage de Gregory {Examples of 
the processes of the differential and intégral calculas; Cambridge, 1841). Les premières 
deux équations donnent X : Y : Z=Y 1 Z 2 —Y 2 Z 1 : Z x X 2 — Z.,X 1 : X x Y 2 — X 2 Y x ; on a donc 
l’expression 
( Y x Z 2 - Y 2 Z X ) dx + (Z x X 2 - Z 2 X x ) dy + (X x Y 2 - X 2 Y x ) dz, 
intégrable par un facteur ; ce qui donne 
( Y,Z, - Y.Z J (X, Y s - X 2 YJ - i (Z,X t - Z,XJ [... = 0. 
Le terme en { } est égal à 
■y dX i . y dX x y dX j 
2 dx + 2 dy + 2 ~di 
I y a , TT dX 2 y dX, 
1 dx 1 dy 1 dz 
y (dX x dY x dZ x . „ 
dX 2 dY 2 dZ 2 
dx ^ dy dz J ’ 
et la somme qui correspond à la deuxième ligne de cette expression s’évanouit identi 
quement ; la première ligne peut s’écrire sous la forme 8 2 X x — 8 x X 2 ; donc, en rétablissant 
X, Y, Z au lieu de Y X Z 2 — Y 2 Z X ,..., la condition devient simplement 
X (8 2 X x - 8 x X 2 ) + Y (8 2 Y x - 8 x Y 2 ) + Z (8 2 Z X - 8 X Z 2 ) = 0. 
Mais nous avons 
J xr y lX-- x y dX x „ dX x -y dXj ir dY x y dZ x 
b2Xl ~ X,2 ~df +Ï2 "dy +Z2 ~df’ ~ Xz ~d^ + Y *~dx + ^ 2 dx ’ 
çv TT' y , tt dX 2 y dX2 tt dX2 tt dY 2 r . dZ 2 
b ' X2 = X '-df +Yl ~dy +A U’ =Xi dx +Yl ~df + Z 'ûc’ 
et ainsi 8 2 X x +8 x X 2 = ^(X x X 2 +Y X Y 2 +Z X Z 2 ) — 0 ; c’est-à-dire 8 x X., = — 8 2 X x , et de même 
5^2 = — ¿bFi, 8 x Z 2 = — 8 2 Z x , et l’équation trouvée se réduit à 
X8 2 X x + Y8 2 Y x + Z8 2 Z x = 0, ou X8 x X 2 + Y8 X Y 2 + Z8 X Z 2 = 0 ; 
on a de même 
et 
X x 8X 2 +Y x 8Y 2 + Z x 8Z 2 = 0, ou X x 8 2 X + Y x 8 2 Y + Z X 8 2 Z = 0, 
X 2 8 x X + Y 2 8 x Y + Z 2 8 x Z = 0, ou X 2 8X x + Y 2 8 Y x + Z 2 8Z X = 0,