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SUR LA CONDITION POUR QU’UNE EAMILLE DE SURFACES DONNÉES [518
Il paraît donc qu’il y a les trois équations (1), [1] pour déterminer (a, b, c); les
trois équations (2), [2] pour déterminer (d, e, f), et ainsi de suite. Mais les choses
ne se comportent pas ainsi. On satisfait à (1), [1] par des valeurs de (a, b, c) qui
contiennent une fonction arbitraire A,, fonction qui est ensuite déterminée au moyen
d’une équation à différences partielles du second ordre, obtenue au moyen des équations
(2), [2] ; on satisfait alors à (2), [2] par des valeurs de (d, e, f) qui contiennent une
fonction arbitraire 0; je présume que cette fonction serait ensuite déterminée au
moyen des équations (3), [3], et ainsi de suite ; mais je n’ai pas encore fait les calculs
ultérieurs.
Par rapport à A, en remplaçant cette fonction par p = A VX 2 + F 2 + Z‘\ l’équation
pour p est
9 d 2 p 1 dE dp 1 dG dp _
dp dq E dq dp G dp dq ’
savoir, c’est la même équation que pour x, y, z: ainsi l’on y satisfait en prenant p
égal à une fonction linéaire (avec terme constant) quelconque de x, y, z.
Pour obtenir ces conclusions, partant des équations (1), [1], les équations (1) donnent
a, b, c — \X, A Y, A Z,
où A est une fonction de p, q: ces valeurs satisfont d’elles-mêmes à l’équation [1].
La vérification se fait sans peine; j’écris pour abréger x x x 2 pour dénoter x x x 2 -f y^y 2 -f z x z 2 ,
et ainsi dans les cas semblables : l’équation à vérifier est donc
c’est-à-dire
où nous avons
x x {\X) 2 -f- x 2 (A-X^ = 0,
A (x x X 2 -f x 2 Xi) + A^X -f- \]X 2 X = 0,
x±X = 0, x 2 X = 0 ;
reste à trouver le coefficient x 2 X 2 + x 2 X 1 . Nous avons
et de là
X = y^ 2 - y 2 z x ,
X x = - y i z 1 + y 3 z 2 - y 2 z 3 ,
x 2 = y x z 5 - y 5 z x + y,z 2 - y 2 z A ,
et de là, en faisant la somme des trois termes de x x X 2 et x 2 X x respectivement, on
trouve
X x ,
2/i,
2/2,
x i}
2/4,
Zi
savoir: x x X 2 + x 2 X x est égal à —2 multiplié par ce déterminant, = — 2Xæ 4 , c’est-à-dire
x x X 2 + x 2 X x = 0. Donc la fonction A est jusqu’ici indéterminée.
