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SUR UN EXEMPLE UE RÉDUCTION D’iNTEGRALES ABÉLIENNES [666 
(où j’écris sn, en, du pour sin am, cos am, A am), et, pour un moment, 
£ = \Jab (70-18, + 7,0-8), 7) = c(— k'ay^ + l'a-f/B), Ç = 7o-,8, — 7,0-8 *, 
x, y sont donnés au moyen des fonctions elliptiques o-, 7, 8, o-,, 71, 8 1 de u, v par 
les équations 
F+lR-y 2 Ç 2 
x + V = ^, xy = j 2 , 
ou, ce qui est la même chose, on a identiquement 
£2^2 - (£ 2 + £ 2 - rf) 2 + £ 2 = £ 2 . z-X. z-y, 
de manière que x, y sont les racines de l’équation quadrique 
?z 2 - (Ç 2 + Ç 2 - V 2 )z+Ç 2 = 0. 
On a l’identité (due à M. Hermite) 
(Pz 3 + Qz 2 + Rz + S) 2 — c 2 8 2 8, 2 (a 2 — o-, 2 ) 2 Z 
= [a 2 (1 4- az) (1 + bz) — c 2 z\ [o-, 2 (1 + az) (1 + bz) — c 2 z] x [% 2 z 2 — (£ 2 + £ 2 - rf) z + f 2 ], 
ou 
Z= z.l — z.l+az.l+bz.l — abz ; 
et alors les valeurs de P, Q, R, S sont 
P = — ab Vabaa x (7<r I S 1 + 71 crS), 
Q = Vab(T(T 1 [ — (a + b — Va& ) 7o-,8, — (a + b + Vab) 7,0-8] + c 2 Vab (8o-,7, + 8,0-7), 
R = o-o-, [(a + b-\/ab) ya-,8, — (a + b + ) 7,0-8] + c 2 (8o-,7, — 8,0*7), 
S = acr 1 (70-18, — 7,0*8), 
lesquelles peuvent aussi s’écrire comme il suit : 
P = — ab acr 1 
Q — — ab acr 1 Ç — c 2 Vabaa-j (l 2 ya-,8, + & 2 7,o-8) + c 2 Vaè (80^7, + 8,0-7), 
R = o-o-, £ + cVo-, (l 2 yc,8, — Â; 2 7,o"8) + c 2 (8o-,7, — 8,0^7), 
S = aa 1 £, 
et je remarque l’équation 
R + Q + R + S = c 3 77, (— k'a 7,8, + V<r l 78) 
= c 2 77,î;. 
En écrivant successivement z — x, z — y, et en choisissant convenablement les signes 
des radicaux, on obtient 
R a? + Qx 2 + Rx 4■ S = c88, (o- 2 — o-, 2 ) V X, 
Py 3 + Qy 2 + Ry + S = c88, (o* 2 — o-, 2 ) V l r ; 
on conçoit sans peine que c’est à cause de ces expressions rationnelles des radicaux 
que l’intégration des équations différentielles réussit. 
* En écrivant 
£' = 70-,5, + 7,<rô, r\ — — à:'(T7,5, + l'cr^ô, ¿"' = 70,5, — 7,ct5, 
on a 
je me sers, dans la suite, de ce symbole 
^=Jab^', r) — cr)', 
£,' = 7<r,5, +7,0-5.