SUR LA SURFACE DES ONDES. 
247 
930] 
le coefficient de dv 2 est | 3 - A? + BÇ - G, c’est-à-dire £ - a. |--b.Ç-c. Le coefficient 
de — dvd% est 
(V -C- Ç 2 V + y) + № - Av ' 2 + Bv ~°) + Of 2 - AvÇ + Bv - G), 
C\ 
= £ ^2v 2 - ffv + -J - + 25v - 3(7; 
1 équation différentielle est donc 
(«* - A& + Bv - O) dp - jf - Av + - B «' + 2 B.) - 3cj dvdi 
22. Mais on a identiquement 
% — a.v — b.v — c 
+ £—b.v — c.v — a 
+ £ — c . v — a. v — b 
1 f G\ 
- Ç. - .v - a. v - b. v - c = Ç [2v 2 - Av + -Atf + 2 Bv - SG, 
v \ v J ’ 
donc en divisant par 
l’équation devient 
•y 3 — ffu 2 + Bv — G, =v — a. v — b. v — c, 
d p-. d ç dv (tz± + t=l + tjZ?_Ç) + dvK t-«-t-b-?-c = 
' v — a v — b v — c v 1 - ~ - 7 
v — a . v — b . v — 
23. De même, en substituant dans l’équation dvdrj + vdudÇ = 0 les valeurs 
v (v? — Au + B) „ v—a.v — b.v — c 
V = — -, Ç = v 
on obtient 
v — a 
v — u 
G 
(v 3 -Av 2 + Bv-G) du 2 -\u[2v 2 -Av+-)-Av 2 + 2 Bv - SG l dvdu 
ou, ce qui est la même chose, 
+ (u 3 — A u 2 + Bu - G) dv 2 = 0, 
du 2 — dudv 
u — a u — b u — c u 
+ 
+ 
v — ci v — b v — c v 
- 4- dv 2 . 
u — a.u —b. u — c 
v — a .v — b .v — c 
0; 
les équations différentielles entre £, v et entre u, v respectivement sont ainsi précisé 
ment de la même forme : on peut vérifier sans beaucoup de peine qu’en introduisant 
dans la première équation u au lieu de £ par la substitution 
£ = v 
v — a.v — b.v — c 
on obtient la seconde équation : c’est là un théorème d’analyse assez remarquable. 
24. Lequation différentielle en u, v est changée en entrechangeant ces deux 
variables : cela doit être ainsi, car autrement ies deux courbes de courbure par le