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SUR LA FONCTION MODULAIRE y(ü. 
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qui donne lieu à 
1 +-2 
cos mir 
n Sin 2 ÏITT Oi n 2 7TCO 7r 71 (Wû) — Tïb) ’ 
il est nécessaire que la variable x ait une valeur finie ou au moins infiniment petite 
par rapport aux valeurs extrêmes de m; ainsi, en écrivant pour x la valeur mrw, 
les valeurs extrêmes de n doivent être infiniment petites par rapport à celles de m, 
et la somme que nous avons dénotée simplement par 2 n 2 m —7— r signifie réellement 
n (nco — m) 
jl r 1 
? 1 
n (nco — m) 
——r, savoir les limites pour n sont 1, v et pour m ces limites sont — 1, 
- fi et +1, + fi où fi et v sont des nombres infiniment grands, mais — = 00, ou, ce 
qui est la même chose, la somme est 2 n 2 m —7 —c, où v est un très grand 
n (?ico — m) ° 
nombre qui devient enfin = 00. En réunissant les termes pour m et - m, la somme 
^ , et il s’agit de faire voir qu’il est permis de substituer 
v 00 
à considérer est 
nW — m 2 
pour cela la somme 
V V 
S-,), 2'. 
n 2 a> 2 — m 2 
(v = 1 à v = 00 ). 
La différence des deux expressions est une somme double n — 1 jusqu’à n = v et 
m = v+ 1, jusqu’à m = 00, savoir cette somme est égale à 
COS VIT |+ 
1 
0)' z — (v + l) 2 
1 
\o.+- 
(v + 2) 2 O) 2 - (v + 3) 2 
1 1 
+ 
4a> 2 - (v + l) 2 4<y 2 - (v + 2) 2 4tu 2 - (v + 3) 
— COS V7T 
+ 
_V 2 (0 2 — (v + l) 2 v 2 wr — (v + 2) 2 v 2 co 2 — (v + 3) 2 
laquelle somme (^sauf pour une valeur imaginaire «u = ~ + ta, a positif^ devient aussi 
petite que l’on veut en donnant à v une valeur suffisamment grande ; c’est-à-dire 
qu’on peut négliger cette différence et ainsi considérer la somme —, :, 
00 n (?iû> — m) 
dont je me suis servi dans l’investigation comme ayant pour n et pour les valeurs 
positives ou négatives de m les mêmes limites 1, v (v = oo ). 
La forme trouvée pour yx met en évidence que « = 0, <w = oo, et &> = + 
des valeurs essentiellement singulières pour la fonction. 
sont