5ÉBRIQUE. 
SUR LES RACINES ü’UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE. 
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!-QX; 
ou pour X = 0, Y = 0 ; les 
correspondent à des sommets 
Y = 0 correspondent à des 
if - (Ph + Qa) 2 
(a 2 4- h 2 ), 
r =0. 
en supposant que l’équation 
de valeurs réelles de x, y qui 
'sterne, il y aura des valeurs 
;urs de z seront en général 
les altitudes seront en général 
t avec la plus petite. 
nême pour une valeur quel- 
îs un col ; le contour est une 
>eu plus grande, le contour se 
les, extérieurs l’un à l’autre. 
Ltours simples s’est changé en 
le contour se divise en trois 
ntinuant de cette manière, on 
osé de n — 2 contours simples 
un peu plus grande, on obtient 
árieur aux autres. Enfin, en 
faisant croître z, chacun des contours simples doit se réduire à un point, c’est-à-dire 
qu’il doit y avoir précisément n sommets de montagne ; mais il n’y a pas de sommet 
de montagne, sinon pour la valeur z — c ; donc il y a précisément n sommets de 
montagne, chacun de l’altitude c. On suppose toujours que l’équation f (x + iy) = 0 
n’ait pas de racines égales, mais il peut bien arriver que deux ou plusieurs des 
valeurs c 1} c 2 , ..., c n deviennent égales; la démonstration est très peu changée, en 
donnant à z une valeur un peu plus grande que celle qui correspond à l’altitude 
des cols d’altitude égale; le contour se divise toujours en contours simples, extérieurs 
chacun aux autres. 
Il va sans dire que cette démonstration repose sur les mêmes principes que celles 
de Gauss et de Cauchy. 
Je reprends la théorie des racines de l’équation f(u) = 0 ; au lieu de la surface 
c — z = P 2 + Q 2 , il convient de considérer la surface (c — z) 2 — P 2 -f- Q 2 , en faisant attention 
seulement aux valeurs de z positives et pas plus grandes que c. La théorie est 
très peu changée ; les contours sont les mêmes qu’auparavant, mais ils appartiennent 
à des altitudes différentes ; et, au lieu de maxima z — c pour P = 0, Q = 0, on a des 
points coniques, c’est-à-dire, dans l’île montagneuse, au lieu d’un sommet arrondi de 
montagne, on a un cône ou un pic. 
Mais avec la nouvelle surface, on construit graphiquement l’approximation de 
Newton : partant d’une valeur réelle ou imaginaire approximative u, on obtient la 
nouvelle valeur 
t /(U) 
= u + h = u — 4• 
/ O) 
Je représente u par le point (x, y, z) de la surface (c — z) 2 = P 2 + Q 2 , ou le point 
(x, y) du plan des sommets z — c; et, de même, par le point (x 1} y 1} Zj) de la 
surface, ou (x 1} y^) du plan des sommets : cela étant, si, par le point {x, y, z) de la 
surface, on mène la droite de plus grande pente (droite tangente à la surface et 
perpendiculaire au contour), cette droite rencontrera le plan des sommets en un point 
(x 1} 2/x), et l’on obtient ainsi le point (x 1} y 1; z^) de la surface, qui représente la 
valeur cherchée iq. En particulier, si les coefficients de f(u) sont réels, on a 
Q = 0; 
l’équation (c — z) 2 = P 2 + Q 2 devient 
c’est-à-dire 
ou enfin 
(c - z) 2 = P 2 , 
c — z — ± P, 
c-z = ±f(x), 
et la section verticale de l’île est formée par des parties de ces deux courbes 
symétriques : pour la théorie géométrique, on peut évidemment y substituer la seule 
courbe c — z = f(x). 
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