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Beweis: Ziehe durch die 4 Punkte P, 
Y, Z und A (Spitze des Winkels) den Kreis 
und durch sein Zentrum 0 die ZD, so ist 
offenbar ZY — ZD . sin x = AP. sin y. 
Sind die Geraden PY und PZ uuter den 
gleichen Winkeln E gezogen, so ist immer 
AP. sin x 
wie leicht zu beweisen. 
5. Unter den gleichen Voraussetzungen 
ist die Differenz der Senkrechten von A und P auf YZ (s. Fig. 4) 
= AP. cosx. 
Denn PD — AZ, also A ABZ ^ DEP; also 
AB—CP = DE—EY = DY = ZD . cos x = AP . cos x 
6. Nach 4 bleibt YZ konstant mit AP, sobald sich also P 
auf einem Kreise um den Scheitel A bewegt. Fragt man also nach 
dem geometrischen Ort der Orthogonal- (oder ttg.5 
Isogonal-) Zentren von Fußpunktsdreiecken, 
in denen eine Seite gegeben, so sind das 
Kreise um die Ecken des Dreiecks. Durch) 
2 seiner Seiten, wie überhaupt durch 2 un 
abhängige Stücke ist, bei gegebener Grund 
figur, ein Orthogonaldreieck bestimmt. 
Zur Konstruktion ziehen man nur im 
Abstand der gegebenen Seite mit dem andern Schenkel eine Paral 
lele; schneidet diese den andern in E, so ist der Kreis um A 
durch E der verlangte. 
7. Aufgabe. Gegeben 3 Dreiecke. Man soll einen Punkt P 
finden, daß in dessen Fußpunktsdreiecken in Bezug auf die 3 ge 
gebenen je die ersten Seiten ZY, Z t Y v Z 2 Y 2 gleich seien. 
Leicht mit Hilfe apollonischer Kreise, von denen je 2 Gegen 
punkte die Abstände AA V AA 2 , A t A 2 im Verhältnis sinx:sinx 1 
etc. teilen. — Kreisbüschel, zwei Punkte. 
Sind die drei Dreiecke ähnlich, so muß AP = A^P = A 2 P 
sein, also P das Zentrum des Kreises um /\AA 1 A 2 . 
8. Den geometrischen Ort des Zentrums von Fußpunktsdrei 
ecken zu finden, so daß ein Winkel konstante Größe behält. 
Analysis. Es soll YXZ — tx sein; aber YXP — YCP 
und ¿_ PXZ ■=. PBZ; folglich ABP -j- AGP — tx, also