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Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
Ar 2 
Ql M ‘=-XTJ—5 
/) -f-c —a 
Ar' 2 
analog Q\M 2 =jv 
2, 
«/) 
2,2 2 
- 
a b c 
2 ? 
('y+'y -7 ' ■ (/ / +c 2 _ a 2 ) 
,2, /2 ,2 
/,/2 /2 /2\ CI 0 C 
Nach den Forderungen der Aufgabe sind die ersten Terme gleich, 
also speziell für den gesuchten Punkt P: 
2t 2 2 /2, /2 /2 
O P 2 _ O' p’ - <* 4 ' .. . 
‘ 1 ' ’ “ (&'»+ c' 2 ._a'Y 
I)a das letztere nach 67 die Potenzen von und (J\ sind, 
so erhält man folgende Konstruktion: 
Man konstruiere in den 3 ähnlichen Dreiecken die 1. Nebensclnver- 
pole und ihre Potenzkreise (beschrieben mit der Länge der Tangenten); 
der Potenzpuukt dieser 3 letzteren Kreise ist der gesuchte Punkt. 
69. Vermittelst der vorigen Artikel gelangt mau zur Unterscheidung 
der Regionen, innerhalb deren die Zentren für spitzwinklige, recht 
winklige und stumpfwinklige Dreiecke liegen. Es hängt dies neiulich 
damit zusammen, ob b/-\- Cj—a/ positiv, = 0, oder negativ wird. 
Ist das zu Gruud liegende Dreieck spitzwinklig, also ¿T-f- r 2 —a 1 
positiv, so ist 
t 2 . 2 2 
Oy -f- C'j- ily — 
ein Minimum = — 
7 2. 2 
b +c — a 
2,2 2 
a b c 
„ • \ , ; also 
Ar 2 4f2(ft2_j_ c 2— a -j 
a 2 b 2 c 2 
- 9 5 rr für Q.P — 0 ; es bleibt 
4 r*(6 2 + c J —rU> 
abc 
negativ, also a y — Ji^— cy positiv, bis zu Q t Pz= ^ y 
also = BQ V wo es = 0 wird; alle Punkte in dem Kreise Q X B 
geben also stumpfwinklige Dreiecke, die Fußpuuktsdreiecke von Punkten 
außerhalb gehen jedenfalls an der ersten Ecke keinen stumpfen Winkel, 
solche von Punkten auf dem Kreise sind indifferent, d. h. rechtwinklig. 
Verfährt man mit den 2 andern Nebeuschwerpolen ebeuso^ 
so findet man: Wenn man für ein spitzwinkliges Dreieck die Kreise 
um Q v Q 2 , Q 3 mit den zugehörigen Tangenten an den Umkreis 
beschreibt, so haben die Punkte innerhalb dieser Kreise stumpf 
winklige, die auf den Kreisen rechtwinklige, die außerhalb der Kreise 
spitzwinklige Fußpunktsdreiecke. 
Liegt ein stumpfwinkliges Dreieck zu Grunde, so daß also 
o —b —c~ positiv, so hat man mit Zeieheuveräuderung.