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Grundlagen einer Isogonalzentrik.
C. Der Schwerpol.
136. Der Inhalt des Fußpunktsdreiecks des Schwerpols ist =
12 J a
(a* + b 2 +
Beweis: Die Potenz des Schwerpols ist =
1
3a 2 b 2 c 2
i; aber
der Inhalt des Fußpunktsdreiecks =
a 2_j_fc 2 -f-C 2 )
T 2 r
. J; also hier =
3 a 2 b 2 c 2 . J
d2
* • *.(«•+»•+«•>•* aber — = 16/2; folgHch
XYZ =
• 2
12 J 3
(a 2 -f- b 2 -f- c 2 ) 2 '
137. Die Summe der Seitenquadrate des Schwerpol-Fußpunkts-
12 J 2
dreiecks ist
V2- —
/(Q)
CL 2 —f— & 2 —C 2 "
Beweis: Nach 61 ist 4r 2 . E 2 y = (a 2 -j- b 2 -}- c 2 ) . R 2 -f-
3 a 2 b 2 c 2
a 2 + & 2 + c 2
3 a 2 b 2 c 2
12 /(Q) 4r 2 ' a 2 -j-6 2 -l-c 2
; dies giebt für R — 0,
, 12/ 2
Oder
/(Q)
a 2 -j-& 2 -(-c 2 '
IJI + 2_ + _Ü
3 [** T V 8 ~ 7<" 2 j'
Im rechtwinkligen Dreieck ist für die Mitte der Hypotenusenhöhe
— 2
/(Q)
= — . h 2 .
Durch Zusammenstellung von 136 und 137 findet man, daß
hier im Fußpunktsdreieck des Schwerpols, also auch immer im
transversen Dreieck, da dieses ihm ähnlich ist, das Verhältnis des
Dreiecksinhalts zur Summe der Seitenquadrate gleich dem entsprechenden
im Urdreieck ist. Das gleiche gilt natürlich für den Mittelpunkt
des Umkreises.
138. Aufgabe. Man soll allgemein den geometrischen Ort
aller Centren von Fußpunktsdreiecken bestimmen, in welchen das
Verhältnis des Inhalts zur Summe der Seitenquadrate gleich dem
V2 a 2 i ¿2_l c *
entsprechenden des Urdreiecks ist, d. h. = —IL i~ _
■’s
J