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Grundlagen einer fsogonalzentrik. 
Denn da die Tangentialaxe die Polare des Schwerpols ist, so 
sind P, A, Q, T 4 harmonische Punkte. Aber nach 53 ist 
AQ : TQ — 4t 2 : 3ct 2 ; also auch AR : TR = 4i 2 : 3a 2 ; 
deswegen für einen beliebigen Punkt 3 a 2 . AR 2 — 41 2 . IR 2 
konstant, wenn P sich auf einem Kreis um R bewegt. Es ist aber 
a f 4r 2 . t} 
3a 2 . AP 2 — 41 2 . TP 2 = 3a 2 4i 2 . —^ ; folglich 
für Kreise um R auch 3al — 4ty konstant, also 
3ay — (2b 2 f 2Cy- — dy) = 4aj- — 2by — 2c^, d. h. 
2a 2 j — by — cy konstant. 
148. Identisch ist die Bedingung, daß 21 2 t’y — t” 2 konstant 
sein soll, wie man sich leicht überzeugt, wenn man die Transversalen 
in den Seiten ausdrückt. 
149. Soll 2aj- — by — Cy = 0 sein, also 
72 i 2 n 2 
by 4~ Cy — 2(l /, 
so muß der Kreis durch die beiden Aquilateralpole gehen; denn 
für diese ist das Fußpunktsdreieck gleichseitig, also 2ciy = b 2 -j- c}- 
Danach müßte R gleichweit von J und J x abstehen, was auch der 
Fall ist, da nach 73, Anmerkung, die Tangentialaxe die Mittel 
senkrechte zu der Verbindungslinie der Aquilateralpole ist. 
Der Kreis um den Durchschnitt der Tangentialaxe mit einer 
Schwerpolaxe durch die Aquilateralpole liefert also Fußpunkts 
dreiecke, in denen das Quadrat der einen Seite das arithmetische 
Mittel zu den Quadraten der beiden audern ist. 
150. Es ist leicht zu sehen, daß in solchen Dreiecken die 
eine Transversale gleich der Höhe des über der Grundlinie er 
richteten gleichseitigen Dreiecks ist. 
Wenn man also über der Grundlinie 
BC (Fig. 58) das gleichseitige Dreieck 
ABC konstruiert, und um die Mitte B von 
BC mit DA den Kreis beschreibt, so ist 
für ein Dreieck A X BC das Quadrat von 
BC das arithmetische Mittel zu den Qua 
draten von A X B und A X C. 
151. Aufgabe. Man soll die isogonisch-zentrische Eigenschaft 
TigJ8. A