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Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
Durcli nochmalige Induktion kann nun der Hauptsatz bewiesen 
werden. Gesetzt nemlich, er gelte für die n—1 Punkte A v A 2 , 
. . . A n _ t auf einer Kugel oder Kreisperipherie, so ist für den 
Schwerpunkt S n _ { derselben: 
A S n -i • A—i 7/ — ——. (A 1 A 2 2 -\-A 1 A 3 -j-... A n _ 2 A 2 n _i); also 
i \2 (^i A 2 -j- . . . A n _ 2 A n j ) 
S n - l H = 2 -j-* ; also 
Al W n _l 
S„ H = H + S„ S„_, = 6' n _i 'if + - A a = 
11 
n A n S\_! + 4 + • ■ • A n ~ 2 A n _i) 
A •S'n ' .i ; 
also: S n ¿7 . i„ S n = 2=1 Ä n _ 1 . S n H = j- . An S n _, 2 -+- 
n 
i Y2 (d-1 A 2 -f- . . . An_2 -^n—1 )| • 
(w —1) 
11 1 
:r • A AA 
1 
(A A\ -+- • . . A n _ 2 A-1 2 ). 
w a _ _ n(n—l) 
Setzt man nun für (n—1) A n S n A seinen obigen Wert ein, 
so erhält man: 
1 s 2 (A n A{-f- A a A 2 -\- • • • A d ^4 n _i 2 ) 
ii 2 n\ n — l) 
(J-i A 2 -f-... ^4 n -i A n —2) ... -Aji—i A n A) oder 
1 S ~~ ^2 j^l ^2* + • • • -¿n-1 
Da also von n—1 auf 11 geschlossen werden darf, so ist nach 
den obigen Ausführungen der Satz für jede Anzahl n richtig. 
160. Fällt der Schwerpunkt $ n mit dem Zentrum der Kugel 
oder des Kreises zusammen, so ist seine Potenz = r 2 . Es gilt 
also folgender Satz: 
In jedem regulären Polygon oder Polyeder ist die Summe 
sämmtlicher Seiten- und Diagonalenquadrate, dividiert durch das