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§27. — Autoparallelismo delle geodetiche. — Ricaveremo 
questa proprietà, per via analitica, dalle equazioni del parallelismo 
giovandoci delle equazioni differenziali che abbiamo trovato per le 
geodetiche. 
Chiamiamo X un vettore unitario definito in tutti i punti della 
geodetica che consideriamo e avente dovunque la direzione di questa: 
vogliamo dimostrare che esso si può considerare trasportato per 
parallelismo lungo la geodetica stessa. 
Siano infatti X' i suoi parametri. 
Ricordando la definizione di questi, e facendo intervenire le 
equazioni parametriche Xi — Xi(s) della geodetica di cui si tratta, 
avremo manifestamente 
., dxi 
X' = — = xì. 
ds 
e quindi 
di' 
ds 
— Xi . 
Ora le x e le x sono legate fra loro dalle equazioni [47], che caratte- 
dX i 
rizzano le geodetiche. Sostituendovi, per Xi e Xi, X' e — , abbiamo 
ds 
di' 
/>' = 
ds 
e moltiplicando per ds 
p' ds = dV 
71 
Li 
n 
LF< 
l 'ì 1 1 X' X,. — 0 , 
lì 
X' dx, — 0 , 
7>3 
equazioni che esprimono il trasporto per parallelismo del vettore X. 
Val la pena di rilevare che, in base alle [51'] e [53], ie p'ds si 
presentano come un caso particolare delle 7 (in cui il generico vet 
tore R è sostituito dal vettore unitario X di componenti contrava 
rianti ccì). Di qua la contravarianza delle pi, o, ciò che fa lo stesso, 
la covarianza delle pi, che noi abbiamo dimostrata in modo diretto 
nel § precedente.