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§ 28. — Cenni relativi al caso di un ds 2 indefinito. — Abbiamo 
convenuto (§ 20) di dire che una varietà V n ad n dimensioni è metri 
camente definita quando vi si associa una forma differenziale qua 
dratica, a coefficienti reali a ik , 
U 
9 — ìk ik dxi dx k . 
i 
Abbiamo subito dopo introdotta l’ipotesi che la forma 9 sia 
definita positiva, attenendoci esclusivamente ad essa nei § § prece 
denti. Vogliamo ora dire una parola anche sul caso, in cui la 9 si 
supponga ancora irriducibile, ossia tale che il suo discriminante a 
sia diverso da zero, ma non più definita, bensì suscettibile di assu 
mere, per certi sistemi di differenziali dxi, valori positivi, e per 
certi altri, valori negativi. 
Anche in tal caso, fissato un generico punto P di coordinate a?* 
e un punto infinitamente vicino P' di coordinate x t -f da?*, si pone 
n 
ds 2 — 9 = £ik a>ik dx t dx k , [54] 
1 
chiamando il ds 2 (che può ora essere positivo, negativo o nullo) 
quadrato dell’elemento lineare (distanza) o meglio intervallo dei due 
punti P e P'. 
Fra gli co 71 sistemi (reali) di differenziali dx¡, cioè, come diremo, 
avendo riguardo soltanto ai rapporti, fra le oo n ~ 1 direzioni spiccate 
da P, ve ne ha oo m ~ 2 per cui è verificata l’equazione (quadratica) 
ds 2 = 0 . [55] 
Queste direzioni che si chiamano di intervallo nullo costituiscono 
(interpretando per un momento i differenziali dxi come coordinate 
cartesiane di origine P) un cono quadrico di vertice P. Tale cono 
separa (nella stella di direzioni uscenti da P) due regioni, in una 
delle quali è 
ds 2 > 0 , [56] 
! ■ ' . 
Il — T. Lbvi-Oivita, Lesioni di calcolo differenziale assoluto. 
e nell’altra 
ds 2 << 0 . Il