— 251 — 
Con ciò il ds' 2 assume la forma data dal Eiemann 
[31] 
Mostreremo in seguito (Cap. seg., § 2) che il ds 2 di una qualunque 
Y n a curvatura costante K si può mettere sotto la forma [31], e anche, 
se K <[ 0, sotto la forma [26]: resterà così giustificata la denomina 
zione di forme canoniche che abbiamo adottate per esse. 
Qui vogliamo ancora rilevare la proprietà assai ovviamente pre 
vedibile, spettante alle ipersfere degli spazi euclidei $ n+1 a n4-1 dimen 
sioni, di costituire altrettante Vn a curvatura costante positiva 
K = — , R designando il raggio. All’uopo indichiamo con y 0 , y^y^ y n 
R 
coordinate cartesiane (ortogonali) di 8 n +i con che 
[32] 
o 
Senza pregiudizio della generalità, si può limitarsi a considerare 
l’ipersfera che ha il centro nell’origine, ed è quindi rappresentata 
dalla equazione 
[33] 
o 
Dimostreremo l’asserto nel modo più diretto, esprimendo le w + 1 
coordinate y dei punti della ipersfera, legate dalla [33], per mezzo 
di n opportune coordinate curvilinee x, e constatando che, ove si 
sostituiscano in [33] queste espressioni parametriche delle y per mezzo 
delle x, il ds 2 assume precisamente la forma canonica [31]. 
La rappresentazione parametrica delle y. cui alludiamo, è una 
generalizzazione immediata di quella fornita, per le superficie sferiche 
ordinarie, dalla proiezione stereografica. In questo caso (n=2), se la 
proiezione si intende fatta dal punto di coordinate y 0 = R , y 1 = y^ = 0 
sul piano tangente nel punto diametralmente opposto, ogni punto