CAPITOLO IX. 
Forme differenziali quadratiche 
di classe zero e di classe uno. 
§ 1. — Forme di classe zero (o euclidee). — Ricordiamo (cfr. 
Cap. V, § 20) che se N è il minimo numero di dimensioni che deve 
avere uno spazio euclideo per potervi immergere una V n data, si 
dice classe di questa V n (o della forma quadratica ds 2 che la caratte 
rizza) il numero N — n. 
Diremo, per conseguenza, che è di classe zero (ovvero che è euclidea) 
una forma quadratica differenziale 
ds 2 = Z ik a-ik dxi dx k [1] 
ì 
se è possibile sostituire alle n variabili x altrettante (poiché N = n) 
variabili y, legate alle x da relazioni 
2/ v = 2/v (®1> • • -, x n) (v = 1, 2, ..., n) [2] 
tali che la [1] assuma la forma cartesiana 
n 0 
■ . [i'j 
ì 
Si tratta di trovare un criterio per riconoscere, data la [1], se 
tale trasformazione è possibile: dimostreremo che basta formare i sim 
boli di Riemann relativi alla [1], ed esaminare se sono o no tutti iden 
ticamente nulli. 
Si ricordi (Cap. VII, §§ 2, 3) che questa è condizione neces 
saria; vogliamo dimostrare che, se, inversamente, tutti i simboli di 
Riemann relativi alla [1] sono identicamente nulli, la [1] si può