CAPITOLO II. 
Sistemi di equazioni ai differenziali totali. 
§ 1. — Preliminari. — Richiamiamo dapprima alcune nozioni 
riguardanti le espressioni differenziali. È noto che si dice differenziale 
totale di una funzione f(x1, #2, ..., x n ) l’espressione 
la quale uguaglia (a meno di infinitesimi di ordine superiore) l’incre 
mento che subisce la / nel passaggio dal punto x\, Xi, ..., x n al punto 
infinitamente vicino Xi + dx 1 ,#2 + dx2, ..., x n + dx n . 
Date n funzioni X t del posto (cioè delle x) che supporremo 
finite e continue assieme alle derivate prime, si dice espressione 
differenziale, o pfaffiano (dal nome del matematico Pfaff) l’espressione 
n 
[1] 
= s,- Xi (®i, »2,..Xn) dXi. 
Una tale espressione non è sempre un differenziale esatto, cioè 
non sempre esiste una funzione f (xi, x*, ..Xn) di cui l’assegnato 
pfaffiano sia il differenziale totale; condizione necessaria e sufficiente 
perchè ciò abbia luogo, cioè perchè sia integrabile un’equazione del tipo 
n 
[2] 
df = S £ x t dXi, 
1 
eyi ( ryi ) 
è che siano verificate le —-—-—- condizioni seguenti 
[3] 
Se queste condizioni sono soddisfatte in un certo campo, il cal 
colo integrale (’) insegna a costruire la più generale funzione / avente 
C 1 ! Cfr. per es. Dini, Lezioni di analisi infinitesimale, Yol. II (Pisa: Nistri, 1909), 
Gap. XVJI, pag. 440.