Non è privo di interesse il ritrovarla anche per altra via, pren 
dendo le mosse dall’osservazione che, se le X n , £ devono essere pro 
porzionali alle derivate — di una stessa funzione, queste derivate 
dXi 
potranno essere sostituite nelle condizioni di ortogonalità 
HìKmK =0 
talché la ipotetica funzione / dovrà verificare il sistema lineare di 
equazioni a derivate parziali 
X, = 
Reciprocamente, se esiste una funzione / che verifica le n — 1 
equazioni ora scritte, le sue derivate devono risultare proporzio 
nali alle X B , f . 
Perciò le condizioni di cui si tratta sono le stesse che sono neces 
sarie e sufficienti perchè le dette n — 1 equazioni costituiscano un 
sistema completo (cfr. Cap. Ili, § 9). Per uniformarci alle notazioni 
del cit. Cap., introduciamo gli operatori lineari 
I, 
(h = 1,2, ..., n — 1) 
non senza rilevare che, in base alle [10] del § 2, tali operatori coin 
cidono colle derivate — rapporto agli archi. Avendo in conformità 
Ss h 
il sistema 
X h f = 0 
(h =1, 2, ..., n — 1) , 
dovremo esprimere che per h, le — 1,2,..., n — 1 le parentesi di Poisson 
(X h ,X k )f=X h X k f-X k X h f 
sono combinazioni lineari delle XJ.