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L’uno e l’altro sono problemi di equazioni a derivate parziali, 
e sono risolubili solo sotto determinate condizioni; ma se queste sono 
soddisfatte, vedremo che l’integrazione si riconduce a quella di equa 
zioni differenziali ordinarie. 
§ 2. — Condizioni necessarie per l’integrabilità. Sistemi 
COMPLETI O ILLIMITATAMENTE INTEGRARILI. — Posto il problema 
sotto la forma [4'], si vede subito che affinché esistano soluzioni 
è necessario (per la simmetria delle derivate seconde delle u) che 
siano soddisfatte le condizioni 
dX^n-AX^j /a — 1, 2, . . ., m 
àxj dXi \i ,j = 1, 2, ..., nj 
Si è usato il simbolo di derivata totale per ricordare che, nel- 
l’effettuare la derivazione, si deve tener conto del fatto che anche 
gli argomenti u dipendono dalle x: si ha cioè 
m m 
Tenuto conto di questo, le [5] si presentano sotto forma di 
m n relazioni del tipo 
F (x | u) = 0 . [5'] 
Esse, come si vede, contengono in generale non solo le x, ma 
anche le u (al contrario delle [3]); queste si debbono intendere sosti 
tuite da quelle incognite funzioni delle x, che soddisfano il sistema 
proposto. Non è quindi possibile scrivere esplicitamente le condizioni 
di integrabilità, senza conoscere precedentemente le soluzioni del 
sistema. Per l’equazione [2] ciò non si presentava, perchè le X, e 
quindi le loro derivate, non contenevano la funzione incognita. 
Ma può avvenire — ed è il casa più interessante — che le [5] 
non solo siano soddisfatte per quelle particolari u che risolvono il 
sistema, ma lo siano identicamente, cioè per qualsivoglia sistema 
di valori delle u e delle x. In tal caso, come vedremo, esse sono