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restano arbitrari 
n — 1 — p 
coefficienti della sostituzione ortogonale, e quindi vi sono oo n ~ 1 -p 
sistemi canonici. 
§ 9. — Congruenze di rette nello spazio euclideo. Signifi 
cato geometrico del sistema canonico. — Nello spazio ordinario 
(cioè euclideo a tre dimensioni) hanno particolare importanza le con 
gruenze di rette, il cui studio si presenta spontaneo in varie que 
stioni di ottica geometrica, poiché i raggi di un fascio di luce (in un 
mezzo omogeneo) formano appunto una congruenza rettilinea. 
Ci occuperemo ora di una proprietà geometrica di tali congruenze, 
che si mostrerà poi legata alle considerazioni del § precedente: anzi 
— poiché ciò non porta alcuna maggiore complicazione — tratte 
remo delle congruenze di rette, in uno spazio euclideo in un numero 
qualunque n di dimensioni. 
Si consideri un punto generico P, e sia r il raggio, passante per * 
esso, della data congruenza rettilinea: sia y l’iperpiano (piano se si 
tratta di spazio ordinario) perpendicolare ar in P. Spostiamoci, in y, di 
un segmento infinitesimo PP' = e in una direzione qualunque: per P' 
passerà un altro raggio r' della congruenza. In generale, i due raggi 
r ed r' sono sghembi: se, per una particolare direzione dello sposta 
mento PP', avviene che essi appartengono a un medesimo piano, cioè 
che si incontrano o sono paralleli (più precisamente che la loro minima 
distanza è un infinitesimo d’ordine superiore a e), si dice che quella 
è una direzione focale. Dimostreremo ora che esistono, in generale, 
n — 1 direzioni focali (che possono essere, eventualmente, in tutto 
o in parte, immaginarie o coincidenti o indeterminate): indicheremo 
poi un notevole caso particolare in cui queste direzioni coincidono 
con quelle del sistema canonico. 
Sia dunque PP' una direzione focale: esisterà un punto C (even 
tualmente a distanza infinita) comune a r e ad r'. Chiamiamo —- la 
(O 
lunghezza CP (con che il caso particolare che i due raggi siano 
paralleli si avrà al limite per co = 0), e riferiamoci a n assi carte 
siani ortogonali 2/ v (v = 1, 2, ..., n). Siano X a , v i coseni della dire 
zione n (cioè i suoi parametri o momenti, chè nello spazio euclideo