303 
Affinchè il sistema [25'] possa ammettere soluzioni s non tutte 
nulle, è necessario e sufficiente che si annulli il determinante dei 
coefficienti, cioè che co verifichi la equazione di grado n — 1 
Ynhj — K « |!■ = 0 
(M = i, 
n 
1) • 
[26] 
Ad ogni radice co corrisponde almeno un sistema di valori per 
le e cioè almeno una direzione focale PP'. Ve ne ha dunque, in gene 
rale, n — 1, che possono però essere, come le corrispondenti radici 
della [26], reali, immaginarie, distinte o coincidenti; od anche (nel 
caso di radici multiple) essere suscettibili di infinite determinazioni. 
Infatti le proprietà della equazione secolare, richiamate nel 
precedente §, valgono per determinanti simmetrici tipo [24], mentre 
tale non è in generale il primo membro della [26]. Vi è per altro una 
importante categoria di congruenze, in cui questa circostanza si 
presenta. Fissiamo intanto sopra di esse la nostra attenzione. 
Congruenze normali di raggi. — Se la nostra (n) è normale, 
sarà (§7) 
Ynhj Ynjh 
(h,j = 1,2, ..., n — 1). 
Si può allora sostituire ± (y„ hj + y njh ) a y nhj , talché la [26] 
coincide addirittura colla [24] che definisce le direzioni canoniche. 
Ne consegue che le direzioni canoniche si identificano colle focali, 
donde da un lato l’interpretazione geometrica delle direzioni cano 
niche; dall’altro (in base al comportamento rilevato alla fine del pre 
cedente §) la proprietà delle direzioni focali di essere sempre reali, in 
generale ben determinate e mutuamente ortogonali e tali di più che, 
nei casi di indeterminazione (in cui ne esistono infinite), se ne pos 
sono sempre scegliere (in infiniti modi) n — 1 mutuamente orto 
gonali. 
Va rilevato che, trattandosi di congruenze normali, esiste (per 
definizione) una famiglia di superficie 
/(#!, x ‘zt •• -, x n) = cost, 
tagliate ortogonalmente dalle rette della congruenza. Queste costitui 
scono pertanto le normali comuni a tutte le superficie della famiglia. 
Illl 
1 §§ 1 '■¿bv' ir 
■