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condizioni non solo necessarie, ma anche sufficienti per l’integrabilità 
del sistema, il quale si dice allora illimitatamente integrabile, o 
completo. 
§3. — L’integrazione di un sistema che non sia incompa 
tibile, SI PUÒ SEMPRE RIDURRE A QUELLA DI UN SISTEMA ILLIMITA 
TAMENTE integrabile. — Ora mostreremo che ogni qualvolta un 
sistema di equazioni ai differenziali totali è integrabile (nel senso 
che esiste almeno un’ennupla di funzioni {xi, x<¡, ..., x n ) che lo 
rendono soddisfatto), la sua integrazione si riduce a quella di un 
sistema completo; potremo così limitare in seguito le nostre con 
siderazioni ai sistemi di quest’ultima specie. 
Le condizioni di integrabilità [5'] sono, come abbiamo detto, in 
numero di m 11 mentre le u sono in numero di m, cioè meno di 
2 
quelle (per n^>2). In generale, quindi, non esistono m funzioni u che le 
soddisfino, e allora il sistema non può certo ammettere soluzioni. Se in 
vece quelle condizioni sono compatibili potrà avvenire che ve ne siano 
m indipendenti, e allora vi è un solo sistema di valori, per le u, che 
le soddisfi e non resta che verificare se queste u verificano anche il 
sistema proposto; oppure che siano tutte identicamente soddisfatte 
(e allora il sistema è completo); o infine, e sarà questo il caso più 
generale, che esse si riducano a un numero v<ro di equazioni com 
patibili e indipendenti. In tal caso, da esse si possono ricavare, in 
termini finiti, v delle incognite, espresse mediante le a? e le rima 
nenti m — v = [x. Ordinando convenientemente gli indici delle u, po 
tremo supporre che le [5'] ci diano le ultime v funzioni u, cioè posto 
¡X = m — v, 
U u. + l 1 U {->- + 2 > • • •> Um 
espresse mediante le a? e le rimanenti u 
Ui , u?, ..., ìlj . 
Per maggiore chiarezza, designeremo con u' {a = 1,2,..., ¡x) 
queste prime fx funzioni u e con + p (p = 1, 2, ..., v) le ul 
time v. Le [5'] potranno in conformità presentarsi sotto forma riso 
luta, scrivendo 
W 'V ='(® I **’) (P = l,2, ..., v). 
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