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Dopo ciò, si immaginerà scisso il sistema [4] in due gruppi di 
equazioni: uno formato dalle prime ¡x 
du' a = i i I u) dXi (et = 1, 2, —, fr*-) ; [4J 
i 
e l’altro dalle rimanenti v 
du« = X a | i (x | u) dXi (a = jx + 1, jx + 2, ..., w = jx + v) . 
ì 
A quest’ultimo, ponendovi a = fx -f p, attribuiremo la forma 
du" {i = + (x\ u) dx t ([3 = 1,2, [4 6 ] 
ì 
I due membri, tenendo conto delle [5"] e delle [4 a ], divengono 
in definitiva espressioni lineari nei differenziali dXi, a coefficienti 
che dipendono unicamente dalle x e dalle u'. Dovendo i coefficienti 
nei due membri coincidere (per l’indipendenza dei differenziali da?,), 
le [4J si riducono in sostanza ad equazioni in termini finiti (in 
numero di wv) fra le u' e le x. 
Se queste si riducono tutte ad identità, basta occuparsi del 
sistema [4 a ], in cui le u" si devono risguardare sos f ituite mediante 
le loro espressioni [5"], sicché si ha un sistema ai differenziali totali, 
della stessa forma dell’originario [4], nelle sole u', in numero di 
[x =: m — v << m . L’essenziale è che, nell’eventualità considerata, il 
sistema [4J così ridotto risulta senz’altro completo. Infatti esso 
consta di una parte dell’originario [4], cogli addizionali vincoli [5"] 
tra le u. Le condizioni di integrabilità dell’intero sistema [4] (dove 
a 'priori le u si trattavano come altrettante indeterminate) erano 
costituite dalle [5], o, possiamo dire, dalle equivalenti [5"]. Per il 
sistema [4 a ] le analoghe condizioni saranno costituite da parte delle 
[5"] (o loro combinazioni), coll’avvertenza che ogni u" va sostituita 
colla sua espressione fornita dalle [5"] stesse. Ma così si ottengono 
manifestamente delle pure identità; perciò il sistema [4J è illimi 
tatamente integrabile giusta l’asserto. 
Se invece le [4 6 ] danno luogo a effettive relazioni (in termini 
finiti) fra le u' e le x, dovremo associarle alle [4 a ] e trattare questo