sistema di equazioni fra g incognite (in parte ai differenziali totali 
e in parte in termini finiti) come già il sistema [4], [5]. 
Così procedendo, o incontreremo delle incompatibilità, e in 
tal caso dovremo concludere che il sistema proposto non ammette 
soluzioni; oppure constateremo che il problema si trova in definitiva 
ricondotto alla integrazione di un sistema completo (con un numero 
di incognite certamente minore di m), 
c. d. d. 
In seguito a queste considerazioni, rivolgeremo la nostra atten 
zione esclusivamente ai sistemi illimitatamente integrabili. 
§4. — Covarianti bilineari. Conseguente espressione della 
condizione di illimitata integrabilità. — La condizione di illi 
mitata integrabilità è stata da noi espressa per mezzo delle [5], 
supposte verificate per valori arbitrari delle u e delle x. Vogliamo 
ora presentarla sotto forma più compendiosa. 
Consideriamo all’uopo due diversi sistemi di incrementi infinite 
simi dati alle x, che indicheremo con dxi e 8x { rispettivamente: gli 
incrementi subiti in corrispondenza da una generica funzione u 
del posto (cioè delle x) si indicheranno in conformità con du e 8u 
rispettivamente, e le loro espressioni saranno 
r 7] 
Ora, i dx sono infinitesimi arbitrari, su cui a priori possiamo 
fare quelle ipotesi che più ci piacciono: converremo di considerarli 
come funzioni (infinitesime) del posto. In tale accezione gli in 
crementi di questi dx, corrispondenti agli incrementi 8x, delle va 
riabili, verranno naturalmente indicati con 8dx; analogo signifi 
cato avrà poi d8x. Quanto al du, anch’esso risulterà una funzione 
(infinitesima) del posto, e così c’è luogo a considerare il 8du-, in modo 
perfettamente analogo, verrà definito il d8u. Vogliamo adesso pro 
curarci l’espressione esplicita di questi due differenziali secondi della u,