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“N 
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n -[- 1 numeri xa?”, ¿ (di un campo entro il quale sia valido, per 
il sistema [6], il teorema generale di esistenza) sappiamo che esiste 
sempre una soluzione x¡ del sistema [6], la quale, per t = U, assume 
i valori x°, .... x° . 
Ora la [7] deve valere (qualunque sia t) quando per le a? introdu 
ciamo questa particolare soluzione x¡ (t). Facendo in particolare t — U 
essa si trova verificata in corrispondenza ai valori arbitrariamente 
prescelti a;®, U, 
c. d. d. 
I m 
il! 
D’altra parte è evidente che qualunque funzione f (x t), la quale 
soddisfi la [7], quando vi si trattano le a; e la t come variabili indipen 
denti, costituisce un integrale del sistema [6]. Difatti la [7], sussistendo 
comunque si scelgano le x, sarà in particolare soddisfatta quando si 
assume per le x una soluzione del sistema [6]; ma in tale accezione il 
àf 
primo membro della [7] si identifica con 
dt 
La funzione / è dunque 
riguardano soluzioni delle 
r«], -f- = o , 
dt 
tale che, quando le x si 
ossia f — cost. 
Riassumendo, possiamo affermare che condizione necessaria e 
sufficiente 'perchè una funzione f(x\t) sia un integrale del sistema [6] 
è che essa soddisfi l’equazione a derivate parziali [7], dove le x e la t 
sono n -f-1 variabili indipendenti. 
§ 3. — Integrali principali. — Fra gli integrali / del sistema [6J 
(che si chiamano anche, per quanto si è visto nel § precedente, inte 
grali dell’equazione [7]) ve ne sono, per ogni valore t 0 di i, n partico 
larmente importanti, che ora passiamo a specificare. 
Partiamo dalla più generale soluzione delle [6], che è, come è 
noto, una ennupla di funzioni della t, contenenti n costanti arbi 
trarie x\ ..., x° : 
1' ‘ n 
Xi =<Pi(t | X o ) 
(i — lj 2, . • ., n) . 
[8] 
Le oc 0 sono i valori assunti dalle x per un dato valore t 0 della t, talché 
— [9] 
PMM 
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