§ 10. — Equivalenza di ogni sistema completo ad uno jaco- 
BIANO COSTITUITO DA ALTRETTANTE EQUAZIONI. NOTA SULLA REGOLA 
di Cramer. — Vogliamo dimostrare che ad un sistema completo se 
ne può sempre sostituire uno equivalente, di altrettante equazioni, ma 
jacobiano: cosicché, in definitiva, ci si può sempre ridurre al caso del 
sistema jacobiano. 
Partiamo dunque dal sistema [24], e supponiamo che esso sia 
completo, cioè che siano verificate le [26]. Il procedimento che segui 
remo consisterà in questo: formeremo, con le n equazioni date, n com 
binazioni lineari distinte, 
B i f=Z lk c ik A, c f= 0 [27] 
ì 
con la condizione 
Il or* Il =1=0 (i = 1,2, ...,») , 
scegliendo i coefficienti c in modo che il sistema [27], che è equivalente 
al dato, sia jacobiano. 
Prima di far questo però scriviamo le equazioni date in modo 
leggermente diverso. Sappiamo che la matrice delle a ha caratteristica 
n (perchè le equazioni sono indipendenti): ordiniamo le variabili in 
modo che il determinante a formato dalle prime n colonne sia quello 
(o uno di quelli) diverso da zero: 
®11 ®12 ' * • n 
^21 ’ ^‘¿n 
0/m 2 • • • ^nn 
Scindiamo poi le variabili 0 in due gruppi: le prime n le chiameremo 
x,,..., x n , le altre N — n = m le chiameremo u x , ..., u m . Ciò posto, 
il sistema dato si può scrivere