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mento cambia di segno e non di valore: sempre per m = 2, se 
si ha Au = — Aji. n coefficienti u di una forma ( : ) lineare generica 
9 == Zi A x, . bi 
costituiscono un sistema semplice, anzi il più generale di questi, 
essendo manifestamente sempre possibile, date n quantità u t , di pen 
sarle assunte come coefficienti di una forma lineare 9. 
Consideriamo invece una forma quadratica, che possiamo scri 
vere 
9 = Zij Aij Xi xj , dc 
1 
è 
dove, la somma essendo estesa a tutte le disposizioni degli indici due m 
a due., il prodotto di x t con Xj figura due volte, l’una sotto la forma pr 
Xi Xj , l’altra sotto la forma x f x,- : perciò il coefficiente di quel prodotto 
è Aij + Aji . Questo non si altera scambiando i con j, onde si rico- tu 
nosce che i coefficienti di una forma quadratica costituiscono un si 
stema doppio simmetrico (qui pure il più generale possibile). Ma, per ne 
individuare un sistema doppio generico (non simmetrico) mediante e i 
i coefficienti di una forma, non basta più una quadrica nelle variabili in 
indipendenti x. Occorre ricorrere a due diverse ennuple di variabili 
indipendenti, per es., le coordinate x ed x' di due punti non aventi a lin 
priori alcun legame, e formare l’espressione (forma bilineare) 
F = Zij Xi X) 
1 
che è lineare così rispetto alle x, come rispetto alle x'\ i coefficienti 
di questa forma sono proprio le A { j, del tutto arbitrarie. 
Più in generale, si riconosce facilmente che un sistema m-plo 
generico si può ritenere individuato da una forma plurilineare in m 
gruppi di variabili, mentre i coefficienti di una forma di grado m co 
stituiscono il più generale sistema m-plo simmetrico. 
e 1 
esj 
nu 
de 
foi 
§ 3. — Invarianza, covarianza e contravarianza di un 
SISTEMA SEMPLICE RISPETTO ALLE TRASFORMAZIONI LINEARI. VARIA 
BILI duali. — Incominciamo ora lo studio delle leggi di trasforma 
li) Si chiama forma, rispetto a dati argomenti, un polinomio omogeneo rispetto 
a quegli argomenti, per es. le variabili indipendenti x, , x,,..., x n .