II] 
e si lia qui la legge di trasformazione del sistema misto a due indici. 
Si troverebbe in modo analogo, per il sistema misto più generale, 
n 
01 * * * J’J. 
A 
I 
,fo\ . . . foni foy • .. fo, n 
Dal punto di vista mnemonico, aggiungeremo che, ricordando le 
formule di trasformazione delle x e delle u, si ricordano facilmente anche 
quelle di un tensore qualsivoglia: esse sono difatti sempre lineari, 
e i coefficienti sono formati con le c in modo analogo a quelli delle 
[5] e [6]: ad ogni indice di covarianza corrisponde una c con gli in 
dici in basso, a ogni indice di contra varianza una c con gli indici in 
alto. Nelle formule inverse ha luogo il contrario. 
Riassumendo: si chiama covariante m-PLO un sistema m-pio 
che si trasforma come i coefficienti dfuna forma plurilineare nelle va 
riabili puntuali; contra variante m-PLO uno che si trasforma come 
i coefficienti di una forma plurilineare nelle variabili duali; più gene 
ralmente sistema misto o tensore uno che si trasforma come i coef 
ficienti d'una forma plurilineare nelle variabili puntuali e duali 
(rimanendo incitisi in questo come casi particolari anche i sistemi pura 
mente covarianti o puramente contravarianti). 
Gli indici di contra varianza si scrivono generalmente in alto, 
quelli di covarianza in basso: tuttavia per le variabili x si fa eccezione 
designandole secondo la consuetudine con x l , a? 2 , ..., x nl apponendo 
cioè l’indice in basso, sebbene si tratti di un sistema contravariante 
di fronte alle trasformazioni lineari, di cui ci stiamo ora occupando. 
Chiuderemo con una osservazione altrettanto ovvia quanto fon 
damentale dovunque si fa intervenire la nozione di tensore. Si tratta 
del fatto che se, con referenza ad un certo sistema di variabili, si 
annullano tutti gli elementi di un tensore, lo stesso segue necessa 
riamente per gli elementi trasformati, in corrispondenza ad un qual 
siasi cambiamento (lineare) di variabili. Ciò risulta immediatamente 
dall’annullarsi identico della forma invariante F, in forza dell’ipotesi. 
§ 5. — Sistemi doppi simmetrici. — Poiché avremo occasione, 
nel seguito, di trattare un notevole sistema covariante doppio sim 
metrico, vogliamo qui presentare alcune proprietà dei sistemi di tale 
specie. Siano