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gli elementi di un tal sistema; la loro covarianza sarà espressa da] 
fatto, che la forma bilineare 
F(x\x , ) = Z ik a ik XiX k [12] 
è invariante in qualsiasi trasformazione lineare che muti le x e le x' 
in altrettante variabili cc, x. 
Anzitutto faremo vedere che in un tal cambiamento di varia 
bili la simmetria si conserva, cioè che 
hi* = à M . [13] 
Difatti, se nella forma bilineare [12] si scambiano le variabili 
x, x', si ottiene 
F(x' \x) = Zik x k x\ 
• ì 
cioè (poiché il secondo membro non differisce da quello della [12] che 
per l’inessenziale scambio delle lettere i e le) 
„ F (x[ | x) — F (x | x'). [Il 7 ] 
Viceversa, se ha luogo tale relazione, se ne conclude (ripetendo il 
ragionamento in senso inverso) che vale anche la [11]. 
Quindi, la condizione di simmetria [11] è perfettamente equiva 
lente alla [11']. Ora, sotto questo aspetto, si riconosce facilmente 
che essa è invariante, perchè, in seguito al cambiamento di variabili, 
designando per brevità 
F {x (x) | x (5')} 
con 
F (x ; x'), 
la [ll'J si muta nella eguaglianza 
F {W \ cc) — F {x\ x') 
che, come si è visto or ora, è equivalente alla [13]. 
Si proverebbe nello stesso modo che, se un sistema doppio con 
travariante è simmetrico rispetto a un sistema di coordinate, resta