2 RELATION HOMOGRAPHIQUE 
renfermer x et x' qu’au premier degré, et par suite, elle sera 
de la forme 
(1 ) Axx' -|- Bx + Cx' + D = 0, 
A, B, C, D étant des constantes quelconques. 
Cette relation est appelée relation homographiqae. 
Elle renferme quatre coefficients A, B, C, D; mais, comme on 
peut diviser la relation par l’un des coefficients, à condition 
que celui-ci ne soit pas nul, on voit qu'elle contient en réalité 
trois paramètres, qui sont les rapports de trois des coefficients 
au quatrième. 
Deux valeurs correspondantes de x et x' sont aussi appelées 
valeurs homologues. 
Nous allons maintenant établir un théorème d’une importance 
capitale dans la théorie de l’homographie, et dont nous tirerons 
des conséquences très importantes. 
Nous en donnerons deux démonstrations. La première repose 
sur la résolution élémentaire des équations du premier degré; 
elle est un peu longue, mais très facile à comprendre. La 
deuxième, beaucoup plus élégante, n’est accessible qu'aux 
lecteurs qui sont familiarisés avec les déterminants; elle pourra 
être laissée de côté sans inconvénient par les autres. 
3. Théorème fondamental. — Une correspondance homogra 
phique est bien définie si l’on donne trois couples de valeurs homo 
logues. 
Supposons qu’on donne trois couples de nombres arbitraires 
(a, a'), (P, (3'), (y, y'); nous allons montrer qu'il existe une cor 
respondance homographique et une seule dans laquelle aux 
valeurs oc, P, y de x correspondent respectivement les valeurs 
a', (3', y' de x'. 
Démarquons d'abord que les trois valeurs de x, oc, ¡3, y, doivent 
être distinctes; car, si l’on avait oc = (3, on aurait aussi oc' — [3', 
puisqu’à une valeur de x correspond une seule valeur de x'. 
Alors, les deux couples (a, a ) et ((3, (3') seraient les mômes, et l'on 
ne donnerait pas trois couples de valeurs homologues. 
Pour la même raison, les nombres oc', |3\ y' sont aussi distincts. 
Cela posé, cherchons à déterminer une relation homogra- 
phiq ne 
(1) Axx' + Bx -+- Cx' H- D = 0, 
qui soit ’ 
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(2) 
(3) 
(4) 
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relation 
phique. 
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en posant 
Le systè