APPLICATIONS 
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le centre 0 de projection en dehors du plan de la ligure <b, et on 
prend pour plan de projection un plan parallèle au plan défini 
par la droite A et le point O. La projection de la droite A est 
alors à l'infini. 
23. On donne deux droites A, A' situées dans un même plan, trois 
points A, 11, C sur A, trois points A', B', G' sur A'; on désigne par 
le point de rencontre des droites UC', CB', par B t celui des droites 
CA', AC' et enfin par C t celui des droites AB', BA'. 
Démontrer que les points A t , 1^, C! sont en ligne droite. 
Nous avons déjà donné plusieurs démonstrations de ce théo 
rème (II, 72), (V, 76), (VII, 99). En voici une autre reposant sur 
la théorie des projections. 
Pour établir que les points A 1? B*, C t sont en ligne droite, 
il suffit de démontrer que leurs projections dans un système 
quelconque sont en ligne droite (13). Si nous projetons la figure 
de manière que la droite AJ^ se projette suivant la droite de 
l’infini du plan de projection, nous aurons à montrer que la 
projection du point C t est située sur cette droite de l’infini. 
Les {joints a, b, c sont sur une même droite S, projection de 
A, et a', b', c' sur la droite S', projection de A'. Puisque eq est à 
l’infini, les droites bc', cb' 
sont parallèles; il en est de 
même de ca', ac'. Pour établir 
que c v est aussi à l'infini, il 
faut montrer que ab', ba' 
sont également parallèles. 
Puisque bc', cb' sont paral 
lèles, nous avons, en dési- 
s 
If gnant par s le point de ren 
contre de S, 8' (I, 16), 
sb sc' 
sc 
de même, puisque ca', ac' sont parallèles, nous avons 
sc sa 1 
sa sc' 
Multiplions ces deux égalités membre à membre, nous obte 
nons 
sb sed 
sa sb' 
et ceci montre que ab', ba' sont parallèles.