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— Ex — F 
y = = 
Bx -f" D 
oder wenn Kürze halber — 
4- 
== <5 und 
DE 
B 
F 
Bx 4- D 
DE F 
B 
p gesetzt 
wird, 
y = 3 + bx + j' = » + «'••• (p)- 
Die Diskussion dieser Gleichung lehrt uns, daß, wenn wir p, B 
und D als positive Größen annehmen, der geometrische Ort der durch 
die Gleichung 
v ' = Bx 4- d • • * 
dargestellten Punkte eine Hyperbel sei, deren Asymptoten durch die 
Gleichungen y = S und x — — dargestellt werden und beziehungs 
weise zu den Axen OX und OY parallel laufen. Wenn aber p = o 
sein sollte, so stellt die Gleichung (p) zwei Gerade y — S und x — — 
welche ebenfalls mit den Coordinatenaxen OX und OY parallel! sind. 
§. 58. 
Aufgabe. Man untersuche, welchen Einfluß die Transformation 
der Coordinaten auf die allgemeine Form der Gleichung des zweiten 
Grades zwischen zwei Variabeln äußert. 
Auflösung. Die allgemeine Gleichung sei wieder 
Ay 2 4~ Bxy 4~ Cx 2 4~ Oy 4~ Ex -f- F = o . . . (I), 
wobei wir der Allgemeinheit der Untersuchung unbeschadet den Coeffi- 
cienten A als positive Größe betrachten können. Wir könnten zwar 
den geometrischen Ort der Gleiuung (I) auf ein beliebiges Axensystem 
beziehen, allein wir wollen um der Einfachheit willen annehmen, der 
Coordinatenwinkel sei ein rechter. 
1) Man behalte den Ursprung 0 der Coordinaten bei und drehe 
das angenommene Axensystem OX, OY um den willkürlichen Winkel 
(X/X) —»,sohatmanx —X' cos. <x —y' sin. »und y=x' sin.» 4-y'cos.» 
zu nehmen, wenn die neuen orthogonalen Coordinaten durch x', y' be 
zeichnet werden. 
Durch diese Substitution geht die Gleichung (I) über in folgende: 
A>y' 2 4- B'x'yi -f- Cx' 2 4- D’y 1 4~ O'x' 4- F = o . . . (P), 
wobei also, nach einer leichten Reduktion, 
A^ — A 608. 2 » — B sin. » cos. » -f C sin. 2 » . . . (m), 
B' — (A — C) sin. 2» 4“ B cos - 2» (n), 
O — A sin. 2 a 4~ B sin. a cos. » + C cos. 2 a . . . (p), 
D' = D cos. a — E sin. a (q)» 
— D sin. a 4“ E cos. a (r)