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kann. Soll nun die Gleichung (1) den gesuchten Kegelschnitt darstellen,
so muß sie auch den Punkten
A, dessen Koordinaten o und y'
L, „ „ o „ y"
C x' o
W ff tt ^ n u
I), „ „ x" „ o und
E, „ „ x“‘ „ y'" sind,
Genüge leisten, oder es müssen folgende Gleichungen bestehen:
Ay' 2 -f- Dy' -j- F = o,
Ay" 2 + Dy" -f F = o,
Cx' 2 + Ex' + F = o
Cx'' 2 Ex" -f F = o, und
Ay"' 2 4 Bx'" y'" Cx"' 2 -f- Dy"' -\- Ex'" -|- F = o.
_A
F
C _
F x'x
Hieraus findet man durch eine leichte Rechnung:
i . . i) y' 4 y
F
y y
i
= A';
r'/.
^ - v —
y'y'
X' +
F
x'x'
= I)'
— E' und
B _ x' 4 X" — X"' . y' 4 y" — y" ^ 1 __ ^
F xx" y‘“ ' y'y" x'" x'" y'"
und diese Werthe in die Gleichung (1) gesetzt, geben dann
A'y 2 4* B'xy -)- C'x 2 D'y ss- E'x 4" 1 — o ... (2)
als die verlangte Gleichung.
Liegen von den fünf gegebenen Punkten keine drei in derselben
Geraden, wie wir voraussetzen, so ist keine der Größen x', x", x'", y',
y". y"' gleich Null, mithin sind die Koefficienten in der Gleichung (2)
lauter bestimmte und endliche Größen, und besitzen nur einen einzigen
Werth.
Durch fünf Punkte, von welchen keine drei in derselben
Geraden liegen, ist demnach stets eine Kegelschnittslinie
und zwar nur eine einzige bestimmt.
Zusatz 1. Die Aufgabe: „Die Gleichung eines Kegelschnittes zu
finden, welcher durch drei gegebene Punkte A, B und E geht und eine
gegebene Gerade OX in dem Punkte M berührt," ist ein besonderer
Fall des vorigen Problemes. Denn man ziehe durch A und B die
Gerade O'Y, wähle diese als Ordinatenaxe und die Tangente O'X'
als Abscissenlinie, so dürfen wir nur x" — x' setzen, und dann wird
^ — 1 ß" __ 2x' —• x"' y' 4 y" — y'“ *
y'y" ' X' 2 y'" ' y'y" X'" x'" y"''
C" — —E-, D' — ■ und E" — — —, mithin ist dann
x' ' y' y" X '
A'y 2 4- B"xy -f C' x 2 + D'y + E"x -f 1 = o . . . (3)
die verlangte Gleichung.
Soll endlich der Kegelschnitt durch den Punkt x'", y'" gehen,
und die beiden Geraden O'X' und 0"Y' in den Punkten Xs und X
berühren, so ist nicht blos x" — x', sondern auch y" — y', weil die
